Matura CKE Sierpień 2014 – Matematyka Podstawowa

Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

Liczba $\dfrac{1}{2} \cdot 2^{2014}$ jest równa

Liczba $c = \log_3 2$. Wtedy

Liczba $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15}$ jest równa

Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. 10% tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x - 5}{7 - x} = \dfrac{1}{3}$ jest liczba

Jeśli $a = \dfrac{b}{c - b}$, to

W zadaniach 8. i 9. wykorzystaj przedstawiony poniżej wykres funkcji $f$.
Dziedziną funkcji $f$ jest przedział

W zadaniach 8. i 9. wykorzystaj przedstawiony poniżej wykres funkcji $f$.
Największą wartością funkcji $f$ jest

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem $f(x) = (x - 2)(x + 4)$.

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział $(-\infty, -3\rangle$, może być określona wzorem

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równa $35$. Pierwszy wyraz $a_1$ tego ciągu jest równy $3$. Wtedy

Ciąg geometryczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n = -\dfrac{3^n}{4}$ dla $n \ge 1$. Iloraz tego ciągu jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełniona jest równość $3\operatorname{tg} \alpha = 2$. Wtedy wartość wyrażenia $\sin \alpha + \cos \alpha$ jest równa

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy $8$. Wysokość tego trójkąta jest równa

Punkty $A$, $B$ i $C$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek).
Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy $AOB$ ma miarę

Odcinki $BC$ i $DE$ są równoległe i $|AE| = 4$, $|DE| = 3$ (zobacz rysunek).
Punkt $D$ jest środkiem odcinka $AB$. Długość odcinka $BC$ jest równa

Dane są równania czterech prostych:
$k\colon y = \dfrac{1}{2}x + 5$          $l\colon y = 2x + 5$
$m\colon y = -2x + 3$          $n\colon y = 2x - 5$
Prostopadłe są proste

Punkt $P = (-1, 0)$ leży na okręgu o promieniu $3$. Równanie tego okręgu może mieć postać

Punkty $A = (13, -12)$ i $C = (15, 8)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości $4$, jest równe

Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa $81\sqrt{3}$. Objętość graniastosłupa jest równa

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe

Średnia arytmetyczna liczb: $x$, $13$, $7$, $5$, $5$, $3$, $2$, $11$ jest równa $7$. Mediana tego zestawu liczb jest równa

Rozwiąż nierówność $-x^2 - 5x + 14 < 0$.

Rozwiąż równanie $x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = 0$.

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez $24$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\dfrac{4}{\sin^2 \alpha} + \dfrac{4}{\cos^2 \alpha} = 25$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC| > |BC|$. Na bokach $AC$ i $BC$ tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty $D$ i $E$, że zachodzi równość $|CD| = |CE|$. Proste $AB$ i $DE$ przecinają się w punkcie $F$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że $|\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle ABC| - 2 \cdot |\sphericalangle AFD|$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla $n \ge 1$, w którym $a_5 = 22$ oraz $a_{10} = 47$. Oblicz pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$ tego ciągu.

Miasta A i B są odległe o $450$ km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o $75$ minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o $18$ km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
$\bullet$ prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B.
$\bullet$ prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa $22$, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy $\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zbiór $M$ tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: $1, 2, 3, 4, 5$. Ze zbioru $M$ losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od $20$, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.