Matura CKE Sierpień 2015 – Matematyka Podstawowa

Jeśli $a = \dfrac{3}{2}$ i $b = 2$, to wartość wyrażenia $\dfrac{a \cdot b}{a + b}$ jest równa

Dany jest prostokąt o wymiarach $40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}$. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o $20\%$, a każdy z krótszych boków skrócimy o $20\%$, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

Liczba $\dfrac{9^5 \cdot 5^9}{45^5}$ jest równa

Liczba $\sqrt{\dfrac{9}{7}} + \sqrt{\dfrac{7}{9}}$ jest równa

Wartość wyrażenia $\log_5 0{,}04 - \dfrac{1}{2} \log_{25} 5 \cdot \log_{25} 1$ jest równa

Wartość wyrażenia $(a + 5)^2$ jest większa od wartości wyrażenia $(a^2 + 10a)$ o

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań
$\begin{cases} x + 3y = -5 \ 3x - 2y = -4 \end{cases}$
Wskaż ten rysunek.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $2(x - 2) \le 4(x - 1) + 1$ jest

Rozwiązaniem równania $x^2(x + 1) = x^2 - 8$ jest

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x - 8}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
e 0. Wówczas wartość funkcji $f(\sqrt{2})$ jest równa

Parabola o wierzchołku $W = (-3, 5)$ i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

Wykres funkcji liniowej $y = 2x - 3$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $y = f(x)$ ma współrzędne $(2, 2)$. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g(x) = f(x + 2)$ ma współrzędne

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez $7$ tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

Ciąg liczbowy określony jest wzorem $a_n = \dfrac{2^n - 1}{2^n + 1}$, dla $n \ge 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\dfrac{3}{4}$. Wówczas

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych $2$ i $5$ cosinus większego z kątów ostrych jest równy

Pole rombu o boku $6$ i kącie rozwartym $150^\circ$ jest równe

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt o mierze $50^\circ$, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą $\alpha$ jest równa

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty $A = (-4, 3)$ oraz $B = (8, 7)$, jest równy

Punkt $S = (2, -5)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A = (-4, 3)$ i $B = (8, b)$. Wtedy

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków $a$, $b$, $c$, gdzie $a < b < c$. Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt $360^\circ$, otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy $4$ i wysokość jest równa $6$, ma długość

W grupie jest $15$ kobiet i $18$ mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od $3000$, utworzonych wyłącznie z cyfr $1, 2, 3$, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Rozwiąż równanie $\dfrac{2x - 4}{x} = \dfrac{x}{2x - 4}$, gdzie $x$
e 0 i $x$
e 2.

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się $6$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $6$, a w drugim – $8$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $8$. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez $11$.

Rozwiąż nierówność $20x \ge 4x^2 + 24$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość $\text{tg } \alpha + \dfrac{1}{\text{tg } \alpha} = \dfrac{7}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A = (-2, 2)$, $B = (6, -2)$, $C = (10, 6)$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3 : 4$, a pole jest równe $192$ (zobacz rysunek).
Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa.

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$. Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) > 0$ jest przedział $(0, 12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$ funkcji $f$.