Matura CKE Sierpień 2021 – Matematyka Podstawowa

Zadanie 1. (0–1)
Liczba $9^{-10} \cdot 3^{19}$ jest równa

Zadanie 2. (0–1)
Liczba $\log_6 9 + 2 \log_6 2$ jest równa

Zadanie 3. (0–1)
Liczba $x$ stanowi $80\%$ liczby dodatniej $y$. Wynika stąd, że liczba $y$ to

Zadanie 4. (0–1)
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $(3x + 8y)^2$ jest równe

Zadanie 5. (0–1)
Liczba $(-2)$ jest rozwiązaniem równania

Zadanie 6. (0–1)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $5 - \dfrac{2-6x}{4} \ge 2x + 1$ jest przedział

Zadanie 7. (0–1)
Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -2x + 4$. Wykres funkcji $f$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o $2$ jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji $g$. Funkcja $g$ jest określona wzorem

Zadanie 8. (0–1)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + 4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $(-1)$. Wtedy

Zadanie 9. (0–1)
Prosta $k$ przechodzi przez punkt $A = (2, -3)$ i jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $45^\circ$ (zobacz rysunek).
Prosta $k$ ma równanie

Zadanie 10. (0–1)
Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = -2(x + 3)(x - 5)$. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, ma współrzędną $x$ równą

Zadanie 11. (0–1)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -x^2 + 4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Zadanie 12. (0–1)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$.
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji $f$.

Zadanie 13. (0–1)
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $2$. Wtedy

Zadanie 14. (0–1)
Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od $1001$ jest równa

Zadanie 15. (0–1)
Trójwyrazowy ciąg $(2, x, 18)$ jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

Zadanie 16. (0–1)
Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha = \dfrac{7}{25}$. Wynika stąd, że

Zadanie 17. (0–1)
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Bok $AD$ jest średnicą tego okręgu, a miara kąta $BDC$ jest równa $20^\circ$ (zobacz rysunek).
Wtedy miara kąta $BSC$ jest równa

Zadanie 18. (0–1)
Okrąg o środku w punkcie $O$ jest wpisany w trójkąt $ABC$. Wiadomo, że $|AB| = |AC|$ i $|\sphericalangle BOC| = 100^\circ$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $BAC$ jest równa

Zadanie 19. (0–1)
Punkty $A, B, C$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Cięciwy $DB$ i $AC$ przecinają się w punkcie $E$, $|\sphericalangle ACB| = 55^\circ$ oraz $|\sphericalangle AEB| = 140^\circ$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $DAC$ jest równa

Zadanie 20. (0–1)
Przekątna $AC$ prostokąta $ABCD$ ma długość $70$. Na boku $AB$ obrano punkt $E$, na przekątnej $AC$ obrano punkt $F$, a na boku $AD$ obrano punkt $G$ – tak, że czworokąt $AEFG$ jest prostokątem (zobacz rysunek).
Ponadto $|EF| = 30$ i $|GF| = 40$.
Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy

Zadanie 21. (0–1)
W układzie współrzędnych dane są dwa punkty $A = (1, -2)$ oraz $B = (3, 1)$. Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

Zadanie 22. (0–1)
Prosta $k$ ma równanie $y = -\dfrac{4}{7}x + 24$. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $k$ jest równy

Zadanie 23. (0–1)
Punkty $A = (3, 7)$ i $C = (-4, 6)$ są końcami przekątnej kwadratu $ABCD$. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy

Zadanie 24. (0–1)
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą $2$ (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Zadanie 25. (0–1)
Przekątna sześcianu jest równa $6$. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa

Zadanie 26. (0–1)
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

Zadanie 27. (0–1)
W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy $3 : 4$. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

Zadanie 28. (0–1)
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: $5x + 6$, $6x + 7$, $7x + 8$, $8x + 9$, $9x + 10$, jest równa $8$. Wtedy $x$ jest równe

Zadanie 29. (0–2)
Rozwiąż nierówność:
$$x^2 - 5 \ge 4x$$

Zadanie 30. (0–2)
Rozwiąż równanie:
$$\dfrac{x + 8}{x - 7} = 2x$$

Zadanie 31. (0–2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ spełniona jest nierówność
$$b(5b - 4a) + a^2 \ge 0$$

Zadanie 32. (0–2)
W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $30^\circ$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkt $D$ tak, że miara kąta $CDA$ jest równa $60^\circ$ oraz $|AD| = 6$ (zobacz rysunek).
Oblicz $|BD|$.

Zadanie 33. (0–2)
Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$. Przekątne $AC$ i $BD$ tego trapezu przecinają się w punkcie $S$ (zobacz rysunek)
tak, że $\dfrac{|AS|}{|SC|} = \dfrac{3}{2}$. Pole trójkąta $ABS$ jest równe $12$. Oblicz pole trójkąta $CDS$.

Zadanie 34. (0–2)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy $12$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.

Zadanie 35. (0–5)
Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \dfrac{5-3n}{7}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Trójwyrazowy ciąg $(a_4, x^2 + 2, a_{11})$, gdzie $x$ jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz $x$ oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.