Matura CKE Wrzesień 2020 – Matematyka Podstawowa

Liczba $(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2$ jest równa

Liczbę $\sqrt[4]{9 \cdot \sqrt{3}}$ można zapisać w postaci

Liczba $2\log 5 + 3\log 2$ jest równa

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $\dfrac{5(4 - x)}{2} < x$ jest liczba

W zestawie $250$ liczb występują jedynie liczby $4$ i $2$. Liczba $4$ występuje $128$ razy, a liczba $2$ występuje $122$ razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby $3$. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Na początku miesiąca komputer kosztował $3 500$ zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o $10\%$, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o $15\%$. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

Funkcje liniowe $f$ i $g$ określone wzorami $f(x) = -4x + 12$ i $g(x) = -2x + k + 3$ mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = -(x + 9)^2 + m$ jest przedział $(-\infty, -5\rangle$. Wtedy

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = \dfrac{1}{3}x^2 + 4x + 7$ jest prosta o równaniu

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Stąd wynika, że

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = 0$ jest liczba

Do okręgu o środku w punkcie $S = (2, 4)$ należy punkt $P = (1, 3)$. Długość tego okręgu jest równa

Prosta $l$ jest równoległa do prostej $y = -\dfrac{1}{2}x + 2$. Na prostej $l$ leży punkt $P = (0, 7)$. Zatem równanie prostej $l$ ma postać

Punkt $S = (4, 8)$ jest środkiem odcinka $PQ$, którego koniec $P$ leży na osi $Oy$, a koniec $Q$ – na osi $Ox$. Wynika stąd, że

Przyprostokątna $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ ma długość $6$, a wysokość $CD$ dzieli go na dwa takie trójkąty $ADC$ i $CDB$, że pole trójkąta $ADC$ jest $4$ razy większe od pola trójkąta $CDB$ (zobacz rysunek).
Przyprostokątna $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ jest równa

Punkty $P = (-3, 4)$ i $O = (0, 0)$ leżą na jednej prostej. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia tej prostej do osi $Ox$ (zobacz rysunek).
Wtedy tangens kąta $\alpha$ jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$. Wtedy

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, są dane dwa wyrazy: $a_1 = 2$ i $a_2 = 5$. Stąd wynika, że $n$-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Funkcja $f$ dla argumentu $x = -3$ przyjmuje wartość

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

$x$	$a$	$3$	$8$
$y$	$36$	$24$	$b$

Stąd wynika, że

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

Dane są punkty $A = (4, 1)$, $B = (1, 3)$, $C = (4, -1)$. Pole trójkąta $ABC$ jest równe

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od $2020$ i podzielnych przez $4$?

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o $9$ większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $12$. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

Rozwiąż nierówność:
$$-2x^2 + 5x + 3 \leq 0$$

Dany jest trzywyrazowy ciąg $(x + 2, 4x + 2, x + 11)$. Oblicz wszystkie wartości $x$, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a(a + b) + b^2 > 3ab$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dwa okręgi o promieniach $r = 2$ i $R = 6$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej $k$. Wykaż, że prosta $l$ przechodząca przez środki $S$ i $P$ tych okręgów przecina prostą $k$ pod kątem $\alpha = 30^{\circ}$ (zobacz rysunek).
Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie $(x^3 + 8)(x^2 - 9) = 0$.

W pudełku jest $8$ kul, z czego $5$ białych i $3$ czarne. Do tego pudełka dołożono $n$ kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe $\dfrac{11}{12}$. Oblicz $n$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym podstawa $AB$ ma długość $12$, a każde z ramion $AC$ i $BC$ ma długość równą $10$. Punkt $D$ jest środkiem ramienia $BC$ (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta $\alpha$, jaki środkowa $AD$ tworzy z ramieniem $AC$ trójkąta $ABC$.

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa $12$. Oblicz objętość tego stożka.

Prosta o równaniu $y = -2x + 7$ jest symetralną odcinka $PQ$, gdzie $P = (4, 5)$. Oblicz współrzędne punktu $Q$.