Matura OKE Łomża Luty 2012 – Matematyka Podstawowa

Cena towaru wraz z $23\%$ podatkiem VAT jest równa $25,83$ zł. Cena towaru bez podatku VAT jest równa

Przedział $(-5, 3)$ jest zbiorem rozwiązań nierówności

Dana jest liczba $x = 2\log_4 8$. Wtedy

Liczba $30$ jest przybliżeniem z nadmiarem liczby $a$. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy $2,31$. Wtedy

Dana jest liczba $x = 9^{-\dfrac{1}{2}} \cdot (-8)^{\dfrac{1}{3}}$. Wtedy

Liczba $(\sqrt{3} + 2)(2 - \sqrt{3})$ jest równa

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\dfrac{x+4}{x^2-25}$ jest

Funkcja liniowa określona wzorem $f(x) = (2 - 5m)x + m - 1$ jest malejąca. Wtedy

Funkcja $f(x) = -2(x+3)(x-4)$ przyjmuje wartości dodatnie dla

Dana jest funkcja określona wzorem $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{dla } x \in (-\infty, -2) \ -2x + 1 & \text{dla } x \in \langle -2, +\infty) \end{cases}$$ Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

W zadaniach 11. i 12. wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji $f$ i $g$.
[zobacz rysunek]
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

W zadaniach 11. i 12. wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji $f$ i $g$.
[zobacz rysunek]
Wykres funkcji $g(x)$ otrzymujemy przesuwając wykres funkcji $f(x)$ wzdłuż osi $Oy$. Wykres funkcji $g$ określony jest wzorem

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_{21} = 2012$ i $r = 100$. Wtedy wyraz $a_1$ jest równy

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1 = \dfrac{3}{4}$ i $a_2 = 1$. Wtedy wyraz $a_5$ jest równy

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$. Wtedy

Wyrażenie $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\cos\alpha}$ jest równe

Dany jest okrąg o promieniu $12$. Miara kąta między średnicą $AB$ a cięciwą $BC$ jest równa $30^\circ$. Wtedy cięciwa $AC$ ma długość

Dane są dwa prostokąty podobne o polach powierzchni $P_I$ i $P_{II}$. Wiemy, że $\dfrac{P_I}{P_{II}} = 2$ i obwód większego prostokąta jest równy $48\text{ cm}$. Obwód mniejszego prostokąta jest równy

Bok trójkąta równobocznego ma długość $8$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

Wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f(x) = 0,5x + 7$ jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu

Styczną do okręgu $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$ jest prosta o równaniu

Przekątna sześcianu ma długość $6\text{ cm}$. Objętość tego sześcianu jest

Ile różnych czterocyfrowych kodów PIN, o niepowtarzających się cyfrach, można utworzyć z cyfr parzystych? Uwaga: zero jest też liczbą parzystą.

O zdarzeniu losowym $A$, zawartym w $\Omega$ wiemy, że $P(A) + 5P(A') = 1,64$. Wtedy

Rozwiąż równanie $\dfrac{3}{x} + \dfrac{x}{3} = \dfrac{5}{2}$ dla $x$
eq 0.

Wykaż, że jeśli $x > 0$ i $y > 0$, to $\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{x} \geq x + y$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trapez $ABCD$. Dłuższa podstawa $AB$ ma długość $m$, pozostałe trzy boki trapezu są równej długości. Przedłużenia ramion trapezu $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $E$ pod kątem $2\alpha$. Oblicz obwód tego trapezu.

Przemek w czasie ferii zimowych podjął pracę w firmie „Ulotek-express”. Pierwszego dnia rozniósł $900$ ulotek, każdego następnego dnia o $40$ mniej niż poprzedniego. Za dostarczenie jednej ulotki firma płaci $5$ groszy. Jaką kwotę zarobił Przemek w czasie $14$ dni pracy?

Dany jest kwadrat $ABCD$. Na przekątnej $BD$ obrano dwa różne punkty $K$ i $L$, takie że $|BK| = |DL|$ (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że czworokąt $AKCL$ jest rombem.
[zobacz rysunek]


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest romb $ABCD$ o boku długości $16$ i polu powierzchni równym $128\sqrt{3}$. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego rombu.

Julia i Dominika mają skarbonki. W skarbonce Julii znajduje się $1$ banknot $50$ zł, dwa banknoty $20$ zł i $3$ banknoty $10$ zł, natomiast w skarbonce Dominiki znajdują się $2$ banknoty $50$ zł, $1$ banknot $20$ zł i $5$ banknotów $10$ zł. Każda z dziewcząt losuje ze swojej skarbonki jeden banknot. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość wylosowanych banknotów przekroczy $38$ zł? Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Punkty o współrzędnych $A = (-2, -8)$, $B = (2, 4)$, $C = (-2, 2)$ są wierzchołkami trapezu. Ramię trapezu $AD$ jest prostopadłe do podstaw $AB$ i $CD$. Oblicz współrzędne punktu $D$ oraz pole powierzchni tego trapezu.

Szkoła zakupiła na raty serwer za kwotę $5400$ zł. Będzie go spłacała w równych miesięcznych ratach. Gdyby okres spłaty skrócić o pół roku, wówczas kwota raty wzrosłaby o $75$ zł. Jaka była miesięczna wysokość raty i przez jaki okres szkoła spłacała swoje zobowiązania finansowe?