Matura Próbna CKE Grudzień 2014 – Matematyka Podstawowa

Liczba $0{,}6$ jest jednym z przybliżeń liczby $\dfrac{5}{8}$. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

Dany jest okrąg o środku $S = (-6, -8)$ i promieniu $2014$. Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest okrąg o środku w punkcie $S_1$. Odległość między punktami $S$ i $S_1$ jest równa

Rozwiązaniami równania $(x^3 - 8)(x - 5)(2x + 1) = 0$ są liczby

Cena towaru została podwyższona o $30\%$, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o $10\%$. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorami $f(x) = -5x + 1$ oraz $g(x) = 5^x$. Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa

Wyrażenie $(3x + 1 + y)^2$ jest równe

Połowa sumy $4^{28} + 4^{28} + 4^{28} + 4^{28}$ jest równa

Równania $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}$ oraz $y = -\dfrac{4}{3}$ opisują dwie proste

Na płaszczyźnie dane są punkty: $A = (\sqrt{2}, \sqrt{6})$, $B = (0, 0)$ i $C = (\sqrt{2}, 0)$. Kąt $BAC$ jest równy

Funkcja $f$, określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie $x$ ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji $f$ zawiera dokładnie

Ekipa złożona z $25$ pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu $156$ dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu $100$ dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o

Z sześcianu $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$ odcięto ostrosłup $ABDE$ (zobacz rysunek).
Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie $A = (2, 4)$, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$.
Funkcja $f$ może być opisana wzorem

Punkty $A = (-6 - 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2})$, $B = (2 + 4\sqrt{2}, -6\sqrt{2})$, $C = (2 + 6\sqrt{2}, 6 - 2\sqrt{2})$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie

Liczba $\sin 150^\circ$ jest równa liczbie

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości $1$ m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o $10$ cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości $5{,}9$ m. Ile trójkątów przedstawia mural?

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości $20$ tworzy z podstawą kąt $67{,}5^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe

Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi $a$ jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi $b$. Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi $a$ jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi $b$?

Na okręgu o środku $S$ leżą punkty $A, B, C$ i $D$. Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą $AC$ jest równy $21^\circ$ (zobacz rysunek).
Kąt $\alpha$ między cięciwami $AD$ i $CD$ jest równy

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x$ jest równa $6$. Mediana tego zestawu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1 = -\sqrt{2}$, $a_2 = 2$, $a_3 = -2\sqrt{2}$. Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli $a_{10}$, jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{24 - 4n}{n}$ dla $n \geq 1$. Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech $p_i$ oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia $i$ oczek w $i$-tym rzucie. Wtedy

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $4^x = 9$.

Rozwiąż nierówność: $-x^2 - 4x + 21 < 0$.

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $\dfrac{2x + 4}{x - 2} = 2x + 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze $100\%$ pierwiastka pozostało $50\%$ tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po $x$ okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$.
W przypadku izotopu jodu ${}^{131}\text{I}$ czas połowicznego rozpadu jest równy $8$ dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z $1$ g ${}^{131}\text{I}$ nie więcej niż $0{,}125$ g tego pierwiastka.

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez $3$, to jej kwadrat przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ przez miejscowość $B$, która znajduje się w połowie drogi z $A$ do $C$. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z $A$ do $B$ była równa $40$ km/h, a na trasie z $B$ do $C$ – $60$ km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z $A$ do $C$.

Zakupiono $16$ biletów do teatru, w tym $10$ biletów na miejsca od $1.$ do $10.$ w pierwszym rzędzie i $6$ biletów na miejsca od $11.$ do $16.$ w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że $2$ wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

W trapezie $ABCD$ ($AB \parallel CD$) przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że $|AO| : |OC| = 5 : 1$. Pole trójkąta $AOD$ jest równe $10$. Uzasadnij, że pole trapezu $ABCD$ jest równe $72$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Punkty $A = (3, 3)$ i $B = (9, 1)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, a punkt $M = (1, 6)$ jest środkiem boku $AC$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej $AB$ z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka $C$.

Tworząca stożka ma długość $17$, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o $22$. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.