Matura Próbna Nowa Era Styczeń 2016 – Matematyka Podstawowa

Liczba $60$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$. Błąd względny tego przybliżenia to $4\%$. Liczba $x$ jest równa

Dla liczb $a = 2\sqrt{2}$ i $b = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ wyrażenie $\dfrac{a}{b^2}$ jest równe

Cenę towaru podwyższono o $20\%$. O ile procent należy obniżyć nową cenę towaru, aby po obniżce stanowiła ona $90\%$ ceny przed zmianami?

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \log(n + 1)$ dla $n \ge 1$. Liczba $\dfrac{3a_3 - a_7}{a_1}$ jest równa

Iloraz liczby $8^{10} - 4^{14}$ przez liczbę $6\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[6]{4}$ jest równy

Równanie $\dfrac{8 - 2x^2}{x + 2} = x + 2$ ma dokładnie

Liczba $4$ spełnia nierówność $a^2 x - 16 < 0$ z niewiadomą $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej $n$ największy wspólny dzielnik liczb $n$ oraz $n+10$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa

Funkcja liniowa $f(x) = -2x + b$ przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich $x < 2$ i tylko dla takich. Wynika stąd, że współczynnik $b$ jest równy

Prostą o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x + 1$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o cztery jednostki w prawo. Otrzymano prostą o równaniu

Wykres funkcji kwadratowej $f(x) = -(x + 1)^2 + 5$ przekształcono symetrycznie względem osi $Oy$ i otrzymano wykres funkcji $g$. Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii wykresu funkcji $g$.

Pan Krzysztof pokonuje trasę Warszawa–Kraków w czasie $t$ ze średnią prędkością $v$. Aby skrócić czas podróży o $20\%$, pan Krzysztof musi średnią prędkość

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{3}{4}n^2 - 24n + 90$ dla $n \ge 1$. Najmniejszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Dla pewnego kąta ostrego $\alpha$ trzywyrazowy ciąg $(2\sin^2 \alpha, \sqrt{3}\operatorname{tg} \alpha, 2\cos^2 \alpha)$ jest arytmetyczny. Miara kąta $\alpha$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku.
Liczba $4^{\sin \alpha}$ jest równa

Prosta o równaniu $y = -2x$ tworzy z osią $Ox$ kąt rozwarty $\alpha$ (zobacz rysunek poniżej).
Cosinus kąta $\alpha$ jest równy

W okrąg o środku $S$ wpisano deltoid $ABCD$ (zobacz rysunek poniżej). Krótsza przekątna deltoidu ma długość $4$, a jego najmniejszy kąt wewnętrzny ma miarę $45^\circ$.
Pole deltoidu jest równe

Dwa okręgi: pierwszy o środku $O_1 = (-2, 4)$ i promieniu $r_1 = 4$ oraz drugi o środku $O_2 = (6, 0)$, są styczne zewnętrznie. Promień drugiego okręgu jest równy

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny.
Kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa to

Pole powierzchni bocznej walca jest 5 razy większe od sumy pól jego podstaw. Miara kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tego walca do podstawy jest w przybliżeniu równa

Laura ma pięć płyt z muzyką taneczną i trzy z muzyką poważną. Na ile sposobów Laura może tak ustawić poszczególne płyty na półce, aby wszystkie płyty tego samego gatunku znalazły się obok siebie? Wskaż poprawny sposób obliczeń.

W tabeli podano oceny z matematyki czterech uczniów pewnej klasy.

Uczeń	Oceny
Ada	4, 4, 4, 5, 5
Basia	3, 3, 3, 4, 4
Czarek	1, 1, 2, 2, 2
Darek	1, 1, 5, 5, 5

Oceny którego ucznia wykazują największe odchylenie standardowe?

W urnie jest o $10$ kul białych więcej niż czarnych. Z urny losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\dfrac{3}{4}$. Ile wszystkich kul jest w urnie?

Wyznacz zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja kwadratowa $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + 2$ przyjmuje większe wartości niż funkcja liniowa $g(x) = -x + 2$.

Dla jakich wartości $m$ równanie $x(3x - 6)(x^3 + 27)(x + m) = 0$ z niewiadomą $x$ ma trzy różne rozwiązania?

Ustalono, że w pewnym jeziorze populacja zagrożonego gatunku ryb maleje każdego roku o $30\%$, a na początku badań wynosiła $50$ tys. sztuk. Podaj wzór funkcji wyrażającej liczebność tej populacji po upływie $t$ lat i oblicz, ile ryb zagrożonego gatunku było w jeziorze po trzech latach od chwili rozpoczęcia badań.

Udowodnij, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej $p > 2$ i liczby o dwa od niej mniejszej jest podzielna przez $8$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trapezie prostokątnym $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$ i $|AB| = 2|CD|$, poprowadzono przekątne $AC$ i $BD$, przecinające się w punkcie $S$. Udowodnij, że odległość punktu $S$ od ramienia $AD$, prostopadłego do podstaw, jest trzy razy mniejsza niż długość podstawy $AB$.
Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Punkty $A = (-2\sqrt{3}, 0)$, $B = (0, 0)$, $C = (\sqrt{3}, 3)$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego $ABCDEF$. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną $AD$ tego sześciokąta.

Na rysunku pokazano ciąg kwadratów. Każdy następny kwadrat ma z poprzednim wspólny tylko jeden wierzchołek i dwa razy większą niż on długość boku. Wiedząc, że czwarty kwadrat ma bok długości $8$, oblicz długość łamanej narysowanej pogrubioną linią, ograniczającą kwadraty od pierwszego do dziesiątego.

W koszyku jest pięć kul o numerach $1, 2, 3, 6, 9$. Losujemy kolejno bez zwracania trzy kule i zapisujemy ich numery, tworząc liczbę trzycyfrową: numer pierwszej wylosowanej kuli jest cyfrą setek, drugiej – cyfrą dziesiątek, a trzeciej – cyfrą jedności zapisanej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ punkty $A = (-4, 1)$ i $B = (7, -2)$ są końcami przeciwprostokątnej. Prosta o równaniu $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$ zawiera jedną z przyprostokątnych tego trójkąta. Oblicz długość środkowej $BS$ w trójkącie $ABC$.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek poniżej) punkt $O$ jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej, a odcinek $OC'$ jest o $4$ dłuższy od przekątnej podstawy. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną $BD$ podstawy dolnej i wierzchołek $C'$ podstawy górnej. Pole figury otrzymanej w wyniku przekroju jest równe $48$. Zaznacz tę figurę na rysunku poniżej i oblicz objętość graniastosłupa.