Matura Próbna Nowa Era Styczeń 2018 – Matematyka Podstawowa

Liczba $b$ jest przybliżeniem liczby $a = \dfrac{25}{4}$. Błąd względny tego przybliżenia jest równy $4\%$. Wskaż błąd bezwzględny tego przybliżenia.

Liczba odwrotna do $3 - 2\sqrt{2}$ jest równa

Dla każdej dodatniej liczby $x$ wyrażenie $\dfrac{x \cdot x^{1{,}5}}{x^{-2}}$ jest równe

Jeśli $p = \log_3 2$, to liczba $\log_3 36$ jest równa

Tabela przedstawia skalę podatkową obowiązującą w 2015 r.

Podstawa obliczenia podatku w złotych		Podatek wynosi
ponad	do
	$85\,528$	$18\%$ minus kwota zmniejszająca podatek $556$ zł $02$ gr
$85\,528$		$14\,839$ zł $02$ gr + $32\%$ nadwyżki ponad $85\,528$ zł

Podstawa obliczenia podatku jest równa $k$, gdzie $k < 85\,528$ zł. Wskaż wysokość należnego podatku.

Wskaż liczbę spełniającą nierówność: $(2 - x)^2 - 9 < (x - 3)(x + 3)$.

Równanie $3x(x^2 + 1)(x^3 + 8) = 0$ ma dokładnie

Do wykresu funkcji liniowej $f$ należą punkty $(4, 0)$ i $(0, 2)$ oraz punkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.
Funkcja $f$ przyjmuje największą wartość dla $x$ równego

Liczba $-2$ jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + x + c$. Oblicz $c$.

Wskaż wzór funkcji kwadratowej $f$, której najmniejsza wartość jest równa $2$.

Dane są cztery ciągi określone wzorami ogólnymi dla $n \ge 1$. Który z nich jest ciągiem arytmetycznym?

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich stanowi $0{,}64$ drugiego wyrazu tego ciągu. Wskaż iloraz tego ciągu.

Wartość $\cos 120^\circ$ jest równa

Dla pewnego kąta ostrego $\alpha$ prawdziwa jest równość $4\cos\alpha = 1$. Miara kąta $\alpha$ jest

Punkty $A = (-1, 4)$ i $B = (1, -2)$ są sąsiednimi wierzchołkami rombu $ABCD$ o polu równym $30$. Sinus kąta ostrego tego rombu jest równy

Punkty $A, B, C, D$ są położone na okręgu o środku $S$ tak, jak przedstawiono na rysunku. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu. Wskaż miarę kąta $BCA$.

Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ (zobacz rysunek).
Promień okręgu ma długość $5$, a odległość punktu $P$ od środka $S$ tego okręgu jest równa $13$. Ile wynosi pole deltoidu $PBSA$?

Jeśli prosta o równaniu $x + \dfrac{1}{2}y + a = 0$ przechodzi przez punkt $P = (-1, -2)$, to $a$ jest równe

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu $2x + 3y - 5 = 0$ jest równy

W walec o przekroju będącym kwadratem wpisano kulę. Jaki jest stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni całkowitej walca?

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $1$. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i tworzącą z tą podstawą kąt $60^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Do wazonu w kształcie odwróconego stożka nalano tyle wody, aby sięgnęła do połowy jego wysokości (patrz rysunek). Jaka część objętości wazonu nie została napełniona?

W pojemniku znajdują się kule białe, czarne i czerwone. Kul białych jest cztery razy więcej niż kul czarnych, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe $\dfrac{1}{2}$. Losujemy jedną kulę. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Na dwa tygodnie przed egzaminem maturalnym uczniom klas trzecich pewnego liceum zadano pytanie: „Ile godzin dziennie poświęcasz nauce?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie kołowym. Wskaż średnią liczbę godzin przeznaczonych przez uczniów tej szkoły na naukę.

Rozwiąż nierówność: $x(x - 4) \le (2x + 1)(x - 4)$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{4n + 5}{2n + 1}$ dla $n \ge 1$. Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy $2\dfrac{1}{2}$.

Udowodnij, że nierówność $(x^2 - 3)^2 + x^4 \ge 4\dfrac{1}{2}$ jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dla pewnej liczby rzeczywistej $x$ liczby: $1 - x, 2 - 3x, 10 + 2x$ są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$. Wyznacz $x$ oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + 3$, gdzie $a$
eq 0, jest prosta o równaniu $x = -2$. Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu $y = -x + 2$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej lub kanonicznej.

Na ściankach symetrycznej dwunastościennej kostki do gry zapisano liczby $1, 2, 3, \dots, 12$ (jak na rysunku). Rzucamy tą kostką trzy razy i zapisujemy wyrzucone liczby w kolejności otrzymywania, tworząc ciąg trójwyrazowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że utworzymy w ten sposób ciąg geometryczny o ilorazie całkowitym.
Uwaga. Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o wysokości $2\sqrt{3}$ krawędź boczna tworzy z podstawą kąt $45^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$, dłuższa podstawa $AB$ ma długość $9$, a sinus kąta $CAD$ jest równy $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Oblicz pole tego trapezu.

W trójkącie $ABC$ wierzchołek $A$ ma współrzędne $(1, 6)$, wierzchołek $B$ leży na osi $Oy$, a $|\sphericalangle ACB| = 90^\circ$. Prosta o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$ jest równoległa do boku $BC$ i przecina każdy z boków $AB$ i $AC$ w połowie. Wyznacz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.