Matura Próbna Styczeń 2005 – Matematyka Podstawowa

Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe:
$p: -3^2 = 9, \quad q: \sqrt{81+64} = 17 \quad \text{oraz} \quad r: \sqrt[3]{27^4} = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-2}$.
Oceń wartość logiczną zdania: $(p \land q) \Rightarrow r$. Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności: $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$, zbiór B jest dziedziną funkcji wymiernej $W(x) = \dfrac{x^2 - 9}{4x - x^2}$. Wyznacz różnicę zbiorów $A \setminus B$.

Dwie konkurencyjne firmy „Alfa” i „Beta” chcą podjąć się organizacji wycieczki. Opłata za wycieczkę w przypadku każdej z ofert składa się z części stałej, niezależnej od liczebności grupy oraz stawki za każdego uczestnika. Opłata stała i stawka wynoszą odpowiednio 3000 zł i 245 zł w firmie „Alfa” oraz 4400 zł i 206 zł w firmie „Beta”. Oblicz:
a) przy jakiej liczbie uczestników wycieczki korzystniejsza jest oferta firmy „Alfa”,
b) jakie koszty przypadną na każdego z 38 uczestników wycieczki zorganizowanej przez firmę „Beta” (koszty podaj z dokładnością do 1 zł).

Funkcja kwadratowa $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$ przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów 1 i 5. Do wykresu tej funkcji należy początek układu współrzędnych.
a) Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$.
b) Dla wyznaczonych wartości współczynników $b$ i $c$ naszkicuj wykres funkcji $f$.

Inwestor chce uzyskać w banku kredyt, który zamierza spłacić po czterech latach. Taki kredyt w banku A jest oprocentowany 12% w skali roku, a odsetki są dopisywane do długu co pół roku. Bank B oferuje oprocentowanie roczne 11% z roczną kapitalizacją odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizję w wysokości 4% kwoty udzielonego kredytu. Oceń, która oferta jest korzystniejsza dla kredytobiorcy.

Prosta $l$ tworzy z osią $x$ kąt o mierze $45^\circ$ i przechodzi przez punkt $M = (-2, 2)$. Prosta $k$, prostopadła do prostej $l$, przecina oś $x$ w punkcie o odciętej $x_0 = -3$.
a) Wyznacz równania prostych $l$ i $k$.
b) Oblicz długość najdłuższego boku trójkąta, którego boki zawierają się w prostych $l$ i $k$ oraz w osi $y$.

W okrąg o środku $O$ i promieniu $R = 6$ cm wpisano czworokąt $ABCD$. Kąty środkowe: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ i $\angle DOA$ mają odpowiednio miary: $45^\circ$, $150^\circ$, $135^\circ$ i $30^\circ$. Oblicz pole czworokąta $ABCD$.

Dane są wielomiany: $Q(x) = x^4 - 8x^3 + 22x^2 - 24x + 9$, $P(x) = 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6$. Oblicz wartości $m$ i $n$, dla których wielomian $W(x) = x^4 + (m-4)x^3 - (2n+6)x^2 - 38x - 3$ równy jest wielomianowi $Q(x) - 2P(x)$.

Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca. Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $a = -5$. Długość promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa 20 cm, a jej objętość $3200\pi$ cm$^3$. Wszystkie warstwy wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość.
Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie 0,24 kg mąki do wypieku warstwy środkowej.

Właściciel sklepu spożywczego w przypadku każdego nowego produktu przeprowadza test polegający na tym, że 50 losowo wybranych osób ocenia ten produkt w skali od 0 do 5 punktów, w trzech kategoriach: C – ceny, S – smaku, i W – wyglądu opakowania. Następnie właściciel oblicza średnią ważoną z następujących liczb: $s_1$ średniej liczby punktów w kategorii C (z wagą 5), $s_2$ średniej liczby punktów w kategorii S (z wagą 3) i $s_3$ średniej liczby punktów w kategorii W (z wagą 2). W przypadku gdy tak obliczona średnia jest większa od 3 właściciel decyduje, że towar będzie sprzedawany w jego sklepie. Badania dotyczące nowego rodzaju kawy dały następujące rezultaty:
w kategorii W:
W kategorii C obliczona średnia była równa $s_1 = 2,42$, a w kategorii S $s_2 = 4,32$.
Oblicz $s_3$, oraz oceń czy w rezultacie przeprowadzonego testu właściciel sklepu zdecyduje się na sprzedaż nowego gatunku kawy.