Matura Próbna Styczeń 2009 – Matematyka Podstawowa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} -x - 4 & \text{dla } -7 \leq x < -3 \ -1 & \text{dla } -3 \leq x < 0 \ 4x - 1 & \text{dla } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$
a) Podaj dziedzinę funkcji $f$.
b) Podaj jej miejsca zerowe.
c) Naszkicuj wykres tej funkcji.
d) Podaj zbiór wartości funkcji $f$.

Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby większej od $52$.

Uzasadnij, że dla każdego $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$ prawdą jest, że $(1 + \sin\alpha) \cdot \left(\dfrac{1}{\cos\alpha} - \text{tg}\alpha\right) = \cos\alpha$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Liczba $\dfrac{3}{4}$ jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego $(b_n)$, którego iloraz jest równy $(-2)$. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu $(b_n)$. Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie siedmiu początkowych wyrazów ciągu $(b_n)$. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego $(a_n)$.

Rozwiąż nierówność $(x - 2)^2 - 4 < 0$. Podaj wszystkie rozwiązania równania $x^3 + 6x^2 - 4x - 24 = 0$, które należą do zbioru rozwiązań tej nierówności.

Punkty $A = (-4, -1)$, $B = (0, -5)$, $C = (2, 1)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa.

Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej równej $5\%$ (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane po każdym roku trwania lokaty. Całość środków, otrzymanych z banku po zlikwidowaniu lokaty, dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci otrzymało 1029 zł. Oblicz początkową kwotę lokaty.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość 18 cm, a wysokość $CD$ jest równa 15 cm. Punkt $D$ dzieli bok $AB$ tak, że $|AD| \colon |DB| = 1 \colon 2$. Przez punkt $P$ leżący na odcinku $DB$ poprowadzono prostą równoległą do prostej $CD$, odcinając od trójkąta $ABC$ trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta $ABC$. Oblicz długość odcinka $PB$.

Doświadczalnie ustalono, że czas $T(n)$, liczony w sekundach, potrzebny na alfabetyczne ułożenie $n$ kartek z nazwiskami wyraża się, z dobrym przybliżeniem, wzorem $T(n) = a \cdot n^2 + b \cdot n$. Ułożenie 10 kartek trwa średnio 20 sekund, a 30 kartek średnio 90 sekund. Wyznacz wzór funkcji $T(n)$ i oblicz, ile kartek można ułożyć średnio w ciągu 50 sekund.

Na zewnątrz kwadratu $ABCD$ na bokach $AB$ i $BC$ zbudowano trójkąty równoboczne $AEB$ i $BFC$. Uzasadnij, że trójkąt $DEF$ jest równoboczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi $60\%$ liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.