Matura Styczeń 2003 – Matematyka Podstawowa

Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się $1540\text{ m}^2$. Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o $9\text{ m}$.

Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych, razem jest to kwota $3200$ złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa Kowalskich, miesięcznych wydatków.
Korzystając z tych danych:
a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki państwa Kowalskich na wyżywienie.
b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na gaz i energię oraz czynsz.

Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby $27 + 10\sqrt{2}$, zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
$$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{25 + 10\sqrt{2} + 2} = \sqrt{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2}$$
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$.

Równanie postaci $C = \dfrac{5}{9} \cdot F - \dfrac{160}{9}$, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza ($C$) oraz Fahrenheita ($F$).
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze $100^\circ C$ woda.
b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.

Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości $8\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować $0{,}25$ litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza – o średnicy $6\text{ cm}$ i wysokości $10\text{ cm}$, druga – o średnicy $5{,}8\text{ cm}$ i wysokości $9{,}5\text{ cm}$ oraz trzecia – o średnicy $6\text{ cm}$ i wysokości $9\text{ cm}$. Której szklanki objętość jest najbliższa $0{,}25$ litra? Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Funkcja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest określona wzorem: $f(x) = x^2 - 6x + 12$.
a) Rozwiąż nierówność $f(x) - 19 > 0$.
b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji $f$, w symetrii względem prostej o równaniu $x = 6$, nie jest parabola, określona równaniem $y = (x - 9)^2 + 6$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta równobocznego.

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się $2$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez $6$ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego.
a) Zapisz wzór ogólny na $n$-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.