Próbna Matura 2004 – Matematyka Podstawowa

Janek ma w tym semestrze następujące oceny z języka polskiego: $5, 5, 3, 4, 3, 3, 4$.
a) Oblicz średnią ocen Janka z języka polskiego. Wynik podaj z dokładnością do $0,01$.
b) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe. Wyniki podaj z dokładnością do $0,01$.

Pożyczkę w wysokości $8700$ zł zaciągniętą w banku należy spłacić w $12$ ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o $50$ zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty.

Funkcja $f$ jest określona wzorem: $f(x) = ax^2 + bx + 1$ dla $x \in \mathbb{R}$.
a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby $f(1) = 2$ i $f(2) = -1$.
b) Dla wyznaczonych wartości współczynników $a$ i $b$ rozwiąż nierówność: $f(x) > 1$.

Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach $A(-1; 4)$, $B(3; -2)$ postępujemy w następujący sposób:
- wybieramy dowolny punkt $P(x; y)$ należący do symetralnej odcinka $AB$ i korzystamy z własności symetralnej odcinka: $|AP| = |BP| \Leftrightarrow |AP|^2 = |BP|^2$
- ponieważ $|AP|^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2$ oraz $|BP|^2 = (x-3)^2 + (y+2)^2$, więc
$(x+1)^2 + (y-4)^2 = (x-3)^2 + (y+2)^2$
- przekształcamy otrzymane równanie do prostszej postaci i otrzymujemy równanie:
$2x - 3y + 1 = 0$, które jest równaniem symetralnej odcinka $AB$.
Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach: $C(4; 6)$, $D(6; -2)$.

Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą $21$ cali powiększymy do $32$ cali zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do $0,1\%$.

Ciąg $(a_n)$ określony jest wzorem: $a_n = n^3 - 10n^2 + 31n - 30$. Wiedząc, że $a_2 = 0$ wyznacz wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu równe zero.

Dana jest funkcja określona za pomocą zbioru par uporządkowanych:
$$\{(x, x^2 + 1) \colon x \in \mathbb{N}_+ \text{ i } x \le 7\}$$
a) Sporządź wykres tej funkcji i określ jej zbiór wartości.
b) Wyznacz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość $37$.

Metalową kulę o promieniu długości $10$ cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio $16$ cm i $12$ cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ cm. Oblicz wysokość tego walca.

Opisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich punktów należących do trójkąta $ABC$ przedstawionego na rysunku. Oblicz pole tego trójkąta.

W pudełku znajdują się żetony. Wśród nich jest $6$ żetonów o nominale $5$ zł oraz $n$ żetonów o nominale $10$ zł. Losujemy z pudełka dwa żetony. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu obu żetonów o nominale $10$ zł jest równe $\dfrac{1}{2}$. Oblicz $n$.

Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest równe $6\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe $12$. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt.