Próbna Matura CKE Listopad 2006 – Matematyka Podstawowa

Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.

Dany jest kwadrat o boku długości $a$. W prostokącie $ABCD$ bok $AB$ jest dwa razy dłuższy niż bok kwadratu, a bok $AD$ jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Pole tego prostokąta jest o 12 cm$^2$ większe od pola kwadratu. Oblicz długość boku kwadratu.

Z prostokąta o szerokości 60 cm wycina się detale w kształcie półkola o promieniu 60 cm. Sposób wycinania detali ilustruje poniższy rysunek.
Oblicz najmniejszą długość prostokąta potrzebnego do wycięcia dwóch takich detali. Wynik zaokrąglij do pełnego centymetra.

Wielomian $W(x) = -2x^4 + 5x^3 + 9x^2 - 15x - 9$ jest podzielny przez dwumian $(2x+1)$. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Dane są proste o równaniach $2x - y - 3 = 0$ i $2x - 3y - 7 = 0$.
a) Zaznacz w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie kąt opisany układem nierówności
$$\begin{cases} 2x - y - 3 \leq 0 \ 2x - 3y - 7 \leq 0 \end{cases}$$
b) Oblicz odległość punktu przecięcia się tych prostych od punktu $S = (3, -8)$.

W urnie znajdują się kule z kolejnymi liczbami 10, 11, 12, 13, ..., 50, przy czym kul z liczbą 10 jest 10, kul z liczbą 11 jest 11 itd., a kul z liczbą 50 jest 50. Z urny tej losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę z liczbą parzystą.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy $\dfrac{2}{3}$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Dany jest wykres funkcji $y = f(x)$ określonej dla $x \in \langle -6, 6 \rangle$.
Korzystając z wykresu funkcji zapisz:
a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca,
b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
c) największą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -5, 5 \rangle$,
d) miejsca zerowe funkcji $g(x) = f(x - 1)$,
e) najmniejszą wartość funkcji $h(x) = f(x) + 2$.

Nauczyciele informatyki, chcąc wyłonić reprezentację szkoły na wojewódzki konkurs informatyczny, przeprowadzili w klasach I A i I B test z zakresu poznanych wiadomości. Każdy z nich przygotował zestawienie wyników swoich uczniów w innej formie.
Na podstawie analizy przedstawionych poniżej wyników obu klas:
a) oblicz średni wynik z testu każdej klasy,
b) oblicz, ile procent uczniów klasy I B uzyskało wynik wyższy niż średni w swojej klasie,
c) podaj medianę wyników uzyskanych w klasie I A.
Wyniki testu informatycznego uczniów kl. I B

Liczba punktów	Liczba uczniów
0	1
1	2
2	1
3	2
4	1
5	2
6	4
7	4
8	1
9	2
10	5

Dane są zbiory:
$A = \{x \in \mathbb{R} : |5 - x| \geq 3\}$, $B = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 9 \geq 0\}$ i $C = \left\{x \in \mathbb{R} : \dfrac{x + 1}{x - 1} \leq 1\right\}$.
a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory $A$, $B$ i $C$.
b) Wyznacz i zapisz za pomocą przedziału liczbowego zbiór $C \setminus (A \cap B)$.

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej $x$ z przedziału $\langle -4, -2 \rangle$ połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o 8.
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f$ w podanym przedziale.