Matura CKE Czerwiec 2024 – Matematyka Rozszerzona

W chwili początkowej ($t = 0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
$$m(t) = a \cdot 2^{-0,05\cdot t} + b \quad \text{dla} \quad t \ge 0$$
gdzie:
$m$ – masa związku A wyrażona w gramach,
$t$ – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t = 0$),
$a, b$ – współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t = 0$) była równa $m_0$ gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t \to \infty$) masa tego związku była równa $\dfrac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało $87,5\%$ masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 4.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (x_0, 5)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $b$, przy czym $a > b$. W ten trapez można wpisać okrąg.
Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a \cdot b$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa $16$, tj.
$$a_1 + a_3 + a_5 + \ldots = 16$$
Ponadto $a_1 + a_3 = \dfrac{5}{2} \cdot a_2$.
Wyznacz wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

W okrąg o promieniu $4$ wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa $6$. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$.
Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $3x + y + 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = x^2 - 2x - 8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną.
Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\dfrac{9\sqrt{10}}{5}$.
Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.