Matura CKE Grudzień 2022 – Matematyka Rozszerzona

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona $200$ g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż $200$ g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe $0{,}1$. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo $20$ torebek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych $20$ losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.
Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach – odpowiednio – $K$, $L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg.
Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej $480$ litrów i nie może przekroczyć $530$ litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480 + x)$ litrów dziennie przeciętny koszt $K$ (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy
$$K(x) = \dfrac{22x^2 - 621{,}5x + 23\,430}{480 + x} \text{, gdzie } x \in [0, 50].$$
Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.
Zapisz obliczenia.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$.
Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zapisz obliczenia.

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB| > |CD|$ oraz ramię $BC$ ma długość $6$. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R = 5$. Miary kątów $BAC$ i $ABC$ tego trapezu spełniają warunek
$$\dfrac{\sin|\sphericalangle BAC|}{\sin|\sphericalangle ABC|} = \dfrac{5}{8}$$
Oblicz pole i obwód trapezu $ABCD$.
Zapisz obliczenia.

Prosta $k$ o równaniu $x + y - 9 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{4}$ w punktach $A$ oraz $B$. Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu $B$ jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$.
Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąta $ABC$.
Zapisz obliczenia.