Zadanie 7. Matura CKE Grudzień 2022

Niech $x$ będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające następujące warunki:
(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości $x$,
(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych jest równe $\sqrt{3}$ (patrz rysunek).
Zapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej $x$.
Wyznacz wszystkie wartości $x > 0$, dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.
Znajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa.
[img1]

Cięciwa $PQ$ długości $8\sqrt{2}$ podzieliła koło o promieniu $4\sqrt{3}$ na dwa odcinki kołowe. W odcinek kołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne $ABC$ tak, że podstawa $AB$ jest równoległa do cięciwy $PQ$, a wierzchołek $C$ jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek).[img1] Wyznacz długości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.

Firma X wytwarza pewien produkt D. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu D, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący:
$$P(Q) = 90 - 0,1Q \quad \text{dla } Q \in [0, 900]$$
gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ – ilością produktu w tys. sztuk.
Koszty $K$ wytworzenia produktu D zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco:
$$K(Q) = 0,002Q^3 + Q^2 + 29,9985Q + 50$$
gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do 100 sztuk. Zapisz obliczenia.
[img1]