Zadanie 20. Informator CKE

Niech $x$ będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające następujące warunki:
(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości $x$,
(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych jest równe $\sqrt{3}$ (patrz rysunek).
Zapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej $x$.
Wyznacz wszystkie wartości $x > 0$, dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.
Znajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa.
[img1]

Cięciwa $PQ$ długości $8\sqrt{2}$ podzieliła koło o promieniu $4\sqrt{3}$ na dwa odcinki kołowe. W odcinek kołowy, który nie zawiera środka koła, wpisujemy trójkąty równoramienne $ABC$ tak, że podstawa $AB$ jest równoległa do cięciwy $PQ$, a wierzchołek $C$ jest środkiem tej cięciwy (zobacz rysunek).[img1] Wyznacz długości boków tego z trójkątów, który ma największe pole.

Cztery miasta $A$, $B$, $C$ i $D$ znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku $300$ km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.
[img1]