Matura CKE Maj 2005 – Matematyka Rozszerzona

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_{x^2 - 3}(x^3 + 4x^2 - x - 4)$ i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Dana jest funkcja: $f(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x$, $x \in R$.
a) Naszkicuj wykres funkcji $f$.
b) Rozwiąż równanie: $f(x) = 1$.

Rzucamy $n$ razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich $n$ prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od $\dfrac{671}{1296}$.

Oblicz: $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+4+7+\dots+(3n-2)}{5+7+9+\dots+(2n+3)}$.

W dowolnym trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$ (Rys. 1)
.
Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
$$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} \quad (1)$$
oraz
$$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN} \quad (2)$$
Po dodaniu równości (1) i (2) stronami otrzymujemy:
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{MC} + \vec{AB} + \vec{BN} + \vec{CN}$$
Ponieważ $\vec{MC} = -\vec{MA}$ oraz $\vec{CN} = -\vec{BN}$, więc:
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{MA} - \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} - \vec{BN}$$
$$2\cdot \vec{MN} = \vec{0} + \vec{AB} + \vec{0}$$
$$\vec{MN} = \dfrac{1}{2} \cdot \vec{AB}.$$
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująco:
odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem $\vec{MN}$ oraz wektorami $\vec{AB}$ i $\vec{DC}$, wiedząc, że czworokąt $ABCD$ jest dowolnym trapezem, zaś punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami ramion $AD$ i $BC$ tego trapezu (Rys. 2)
.
Podaj interpretację otrzymanego wyniku.

Sześcian o krawędzi długości $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $\dfrac{\pi}{3}$. Sporządź odpowiedni rysunek.
Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ jest liczbą całkowitą.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Pary liczb $(x, y)$ spełniające układ równań:
$$\begin{cases} -4x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0 \ -x^2 + y + 4 = 0 \end{cases}$$
są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego $ABCD$.
a) Wyznacz współrzędne punktów: $A$, $B$, $C$, $D$.
b) Wykaż, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie $ABCD$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dane jest równanie: $x^2 + (m - 5)x + m^2 + m + \dfrac{1}{4} = 0$.
Zbadaj, dla jakich wartości parametru $m$ stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość.