Matura CKE Maj 2006 – Matematyka Rozszerzona

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ prawdziwy jest wzór: $1 \cdot 3 \cdot (1!)^2 + 2 \cdot 4 \cdot (2!)^2 + \dots + n(n+2)(n!)^2 = [(n+1)!]^2 - 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest ciąg $(a_n)$, gdzie $a_n = \dfrac{5n+6}{10(n+1)}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
a) Zbadaj monotoniczność ciągu $(a_n)$.
b) Oblicz $\lim_{n\to\infty} a_n$.
c) Podaj największą liczbę $a$ i najmniejszą liczbę $b$ takie, że dla każdego $n$ spełniony jest warunek $a \le a_n \le b$.

a) Naszkicuj wykres funkcji $y = \sin 2x$ w przedziale $\langle -2\pi, 2\pi \rangle$.
b) Naszkicuj wykres funkcji $y = \dfrac{|\sin 2x|}{\sin 2x}$ w przedziale $\langle -2\pi, 2\pi \rangle$ i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność $\dfrac{|\sin 2x|}{\sin 2x} < 0$.

Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.

Obiekty $A$ i $B$ leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami $B$ i $C$ jest równa $400$ m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami $A$ i $B$ i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.

Na okręgu o promieniu $r$ opisano trapez równoramienny $ABCD$ o dłuższej podstawie $AB$ i krótszej $CD$. Punkt styczności $S$ dzieli ramię $BC$ tak, że $\dfrac{|CS|}{|SB|} = \dfrac{2}{5}$.
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus $\measuredangle CBD$.

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej $2 \text{ m}^3$ istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n \cdot \log_2 (k-2)$, dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu $(a_n)$.

Dane są funkcje $f(x) = 3^{x^2-5x}$ i $g(x) = \left(\dfrac{1}{9}\right)^{-2x^2-3x+2}$.
Oblicz, dla których argumentów $x$ wartości funkcji $f$ są większe od wartości funkcji $g$.

W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że funkcja $f$ ma następujące własności:
– jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
– $f$ jest funkcją nieparzystą,
– $f$ jest funkcją ciągłą
oraz:
$f'(x) < 0$ dla $x \in (-8, -3)$,
$f'(x) > 0$ dla $x \in (-3, -1)$,
$f'(x) < 0$ dla $x \in (-1, 0)$,
$f'(-3) = f'(-1) = 0$,
$f(-8) = 0$,
$f(-3) = -2$,
$f(-2) = 0$,
$f(-1) = 1$.
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji $f$ w przedziale $\langle -8, 8 \rangle$, wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.