Zadanie 20. Matura CKE Maj 2006

Zadanie 11. (3 pkt)
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$. Funkcja $g$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $f$ o wektor $[-1, 2]$.
a) Zapisz wzór funkcji $g$, uzyskanej w wyniku tego przesunięcia.
b) Sporządź wykres funkcji $g$.
c) Wskaż największą liczbę $m \in \mathbb{R}$ taką, dla której równanie $g(x) = m$ nie ma rozwiązania.

W chwili początkowej ($t = 0$) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
$$m(t) = a \cdot 2^{-0,05\cdot t} + b \quad \text{dla} \quad t \ge 0$$
gdzie:
$m$ – masa związku A wyrażona w gramach,
$t$ – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t = 0$),
$a, b$ – współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t = 0$) była równa $m_0$ gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t \to \infty$) masa tego związku była równa $\dfrac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).[img1]Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało $87,5\%$ masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ dla $x \in R$:
a) Narysuj wykres funkcji $g$, który jest obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o wektor $\vec{u}=[2,-1]$.
b) Wyznacz $a$ i zapisz wzór funkcji $g$ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia.
c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $g(x)>0$.
[img1]