Matura CKE Maj 2016 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0–1)
W rozwinięciu wyrażenia $(2\sqrt{3}x + 4y)^3$ współczynnik przy iloczynie $xy^2$ jest równy

Zadanie 2. (0–1)
Wielomian $W(x) = 6x^3 + 3x^2 - 5x + p$ jest podzielny przez dwumian $x - 1$ dla $p$ równego

Zadanie 3. (0–1)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej $y = f(x)$, której dziedziną jest zbiór $D = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
Równanie $|f(x)| = p$ z niewiadomą $x$ ma dokładnie jedno rozwiązanie

Zadanie 4. (0–1)
Funkcja $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x^2 + 4}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem

Zadanie 5. (0–1)
Granica $\lim_{n\to\infty} \dfrac{(pn^2 + 4n)^3}{5n^6 - 4} = -\dfrac{8}{5}$. Wynika stąd, że

Zadanie 6. (0–2)
Wśród $10$ tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Badane grupy	Liczba osób popierających budowę przedszkola	Liczba osób niepopierających budowę przedszkola
Kobiety	$5140$	$1860$
Mężczyźni	$2260$	$740$

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0–2)
Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \left(\dfrac{1}{2x - 371}\right)^n$ dla $n \geq 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ jest zbieżny.

Zadanie 8. (0–3)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^2 + y^2 = 2$, prawdziwa jest nierówność $x + y \leq 2$.

Zadanie 9. (0–3)
Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku.
Wykaż, że $|MN| = |AD|$.

Zadanie 10. (0–4)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których wykresy funkcji $f$ i $g$, określonych wzorami $f(x) = x - 2$ oraz $g(x) = 5 - ax$, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Zadanie 11. (0–4)
Rozwiąż nierówność $\dfrac{2\cos x - \sqrt{3}}{\cos^2 x} < 0$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

Zadanie 12. (0–6)
Dany jest trójmian kwadratowy $f(x) = x^2 + 2(m + 1)x + 6m + 1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $|x_1 - x_2| < 3$.

Zadanie 13. (0–5)
Punkty $A = (30, 32)$ i $B = (0, 8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x - y + 2 = 0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $AC$. Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

Zadanie 14. (0–3)
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry $1, 2, 3$, przy czym cyfra $1$ występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest $15 360$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 15. (0–6)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa $5$, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 16. (0–7)
Parabola o równaniu $y = 2 - \dfrac{1}{2}x^2$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punktach $A = (-2, 0)$ i $B = (2, 0)$. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne $ABCD$, których dłuższą podstawą jest odcinek $AB$, a końce $C$ i $D$ krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu $ABCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka $C$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.