Matura CKE Maj 2017 – Matematyka Rozszerzona

Liczba $\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2$ jest równa

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem $a_n = \dfrac{(n^2-10n)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}$ dla $n \geq 1$. Wtedy

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$, w którym $|AD| = |CD| = \dfrac{1}{2}|BC|$ (zobacz rysunek).
Okrąg o środku $C$ i promieniu $CD$ jest styczny do prostej $AB$. Okrąg ten przecina boki $AC$ i $BC$ trójkąta odpowiednio w punktach $K$ i $L$.
Zaznaczony na rysunku kąt $\alpha$ wpisany w okrąg jest równy

Dane są punkt $B = (-4, 7)$ i wektor $\vec{u} = [-3, 5]$. Punkt $A$, taki, że $\vec{AB} = -3\vec{u}$, ma współrzędne

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 - 2x^2 + ax + \dfrac{3}{4}$ przez dwumian $x - 2$ jest równa $1$.
Oblicz wartość współczynnika $a$.
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P = (1, 0)$.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność
$x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $|\measuredangle ABC| = \beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$.
Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\dfrac{2ac \cdot \cos \dfrac{\beta}{2}}{a+c}$.

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość $6$, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna $\pi$, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej $\dfrac{8}{27}$ objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka $S$ kuli od płaszczyzny $\pi$, tj. długość najkrótszego spośród odcinków $SP$, gdzie $P$ jest punktem płaszczyzny $\pi$.

Rozwiąż równanie $\cos 2x + 3\cos x = -2$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.

W pudełku znajduje się $8$ piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od $1$ do $8$. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez $4$. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$4x^2 - 6mx + (2m + 3)(m - 3) = 0$
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, przy czym $x_1 < x_2$, spełniające warunek
$(4x_1 - 4x_2 - 1)(4x_1 - 4x_2 + 1) < 0$.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5, 3)$ i $B = (0, 6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x - 3y + 1 = 0$.

Liczby $a, b, c$ są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa $27$. Ciąg $(a-2, b, 2c+1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej $P$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.