Matura CKE Maj 2019 – Matematyka Rozszerzona – Arkusz i Zadania

0 – 1 pktlogarytmy

Dla dowolnych liczb

x > 0

,

x eq 1

,

y > 0

,

y eq 1

wartość wyrażenia

\left(\log_{\dfrac{1}{x}} y\right) \cdot \left(\log_{\dfrac{1}{y}} x\right)

jest równa

A.

x \cdot y

B.

\dfrac{1}{x \cdot y}

C.

-1

D.

1

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 2.ABCD

0 – 1 pkttrygonometria

Liczba

\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ

jest równa

A.

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

B.

-\dfrac{1}{2}

C.

\dfrac{1}{2}

D.

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 3.ABCD

0 – 1 pktbezwgledna

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

y = f(x)

, który jest złożony z dwóch półprostych

AD

i

CE

oraz dwóch odcinków

AB

i

BC

, gdzie

A = (-1, 0)

,

B = (1, 2)

,

C = (3, 0)

,

D = (-4, 3)

,

E = (6, 3)

.

Wzór funkcji

f

to

A.

f(x) = |x + 1| + |x - 1|

B.

f(x) = ||x - 1| - 2|

C.

f(x) = ||x - 1| + 2|

D.

f(x) = |x - 1| + 2

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 4.ABCD

0 – 1 pktprawdopodobienstwo

Zdarzenia losowe

A

i

B

zawarte w

\Omega

są takie, że prawdopodobieństwo

P(B')

zdarzenia

B'

, przeciwnego do zdarzenia

B

, jest równe

\dfrac{1}{4}

. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe

P(A | B) = \dfrac{1}{5}

. Wynika stąd, że

A.

P(A \cap B) = \dfrac{1}{20}

B.

P(A \cap B) = \dfrac{4}{15}

C.

P(A \cap B) = \dfrac{3}{20}

D.

P(A \cap B) = \dfrac{4}{5}

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 5.Otwarte

0 – 2 pktgranice

Oblicz granicę

\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{9n^3 + 11n^2}{7n^3 + 5n^2 + 3n + 1} - \dfrac{n^2}{3n^2 + 1} \right)

Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 6.Otwarte

0 – 3 pktkombinatoryka

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr

1, 3, 5, 7, 9

, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 7.Otwarte

0 – 2 pktanalityczna

Punkt

P = (10, 2429)

leży na paraboli o równaniu

y = 2x^2 + x + 2219

. Prosta o równaniu kierunkowym

y = ax + b

jest styczna do tej paraboli w punkcie

P

. Oblicz współczynnik

b

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 8.Dowod

0 – 3 pktalgebra

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych

x

i

y

, takich że

x < y

, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej

a

, prawdziwa jest nierówność

\dfrac{x + a}{y + a} + \dfrac{y}{x} > 2

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 9.Dowod

0 – 3 pktdowody_geometryczne

Dany jest trójkąt równoramienny

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

. Na ramieniu

AC

tego trójkąta wybrano punkt

M

(

M eq A

i

M eq C

), a na ramieniu

BC

wybrano punkt

N

, w taki sposób, że

|AM| = |CN|

. Przez punkty

M

i

N

poprowadzono proste prostopadłe do podstawy

AB

tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty

S

i

T

. Udowodnij, że

|ST| = \dfrac{1}{2}|AB|

.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 10.Otwarte

0 – 4 pktplanimetria

Punkt

D

leży na boku

AB

trójkąta

ABC

oraz

|AC| = 16

,

|AD| = 6

,

|CD| = 14

i

|BC| = |BD|

. Oblicz obwód trójkąta

ABC

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 11.Otwarte

0 – 6 pktanalityczna

Dane są okręgi o równaniach

x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0

i

x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 12.Otwarte

0 – 6 pktciagi

Trzywyrazowy ciąg

(a, b, c)

o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

\left(\dfrac{1}{a}, \dfrac{2}{3b}, \dfrac{1}{2a + 2b + c}\right)

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 13.Otwarte

0 – 6 pktwielomiany

Wielomian określony wzorem

W(x) = 2x^3 + (m^3 + 2)x^2 - 11x - 2(2m + 1)

jest podzielny przez dwumian

(x - 2)

oraz przy dzieleniu przez dwumian

(x + 1)

daje resztę

6

. Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W(x) \leq 0

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 14.Otwarte

0 – 4 pkttrygonometria

Rozwiąż równanie

(\cos x)\left[ \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) \right] = \dfrac{1}{2} \sin x

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 15.Otwarte

0 – 7 pktoptymalizacja

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

V = 2

. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Matura CKE Maj 2019 – Matematyka Rozszerzona

Zadania z tego arkusza (15)

Chcesz przećwiczyć więcej arkuszy z przedmiotu Matematyka Rozszerzona?