Matura CKE Maj 2020 – Matematyka Rozszerzona

Wielomian $W$ określony wzorem $W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6$

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{3n^2 + 7n - 5}{11 - 5n + 5n^2}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Granica tego ciągu jest równa

Mamy dwie urny. W pierwszej są $3$ kule białe i $7$ kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i $9$ kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego $(x\sqrt{2} + y\sqrt{3})^4$ do postaci $ax^4 + bx^3y + cx^2y^2 + dxy^3 + ey^4$ współczynnik $c$ jest równy

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ jest $3$ razy dłuższy od boku $AC$, a długość boku $BC$ stanowi $\dfrac{4}{5}$ długości boku $AB$. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta $ABC$.
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$, dla których równanie $|x - 5| = (a - 1)^2 - 4$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC| = |LC| = 2$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że $\dfrac{|AM|}{|MC|} = \dfrac{4}{5}$.

Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają równość $a^2 + 2a = 4b^2 + 4b$. Wykaż, że $a = 2b$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie $3\cos 2x + 10\cos^2 x = 24\sin x - 3$ dla $x \in \langle 0, 2\pi \rangle$.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_1, a_2, a_3)$ spełniona jest równość $a_1 + a_2 + a_3 = \dfrac{21}{4}$.
Wyrazy $a_1, a_2, a_3$ są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_1$.

Dane jest równanie kwadratowe $x^2 - (3m + 2)x + 2m^2 + 7m - 15 = 0$ z niewiadomą $x$. Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$ tego równania istnieją i spełniają warunek $2x_1^2 + 5x_1x_2 + 2x_2^2 = 2$.

Prosta o równaniu $x + y - 10 = 0$ przecina okrąg o równaniu $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 8 = 0$ w punktach $K$ i $L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $KL$. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k = -3$.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry $1$ i dokładnie dwie cyfry $2$.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDS$ jest trapez $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Ramiona tego trapezu mają długości $|AD| = 10$ i $|BC| = 16$, a miara kąta $ABC$ jest równa $30^\circ$. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $\alpha$, taki, że $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{9}{2}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe $0{,}5$ cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe $0{,}3$ cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię $60$ cm$^2$. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.