Matura CKE Maj 2022 – Matematyka Rozszerzona

Liczba $\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3}$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 2.
Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu $x = \dfrac{1}{2}$ jest równa

Jeżeli $\cos \beta = -\dfrac{1}{3}$ i $\beta \in (\pi, \dfrac{3}{2}\pi)$, to wartość wyrażenia $\sin (\beta - \dfrac{1}{3}\pi)$ jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.
Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ wzorem $a_n = \dfrac{(7p - 1)n^3 + 5pn - 3}{(p + 1)n^3 + n^2 + p}$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_n)$ jest równa $\dfrac{4}{3}$.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $2x > y$, spełniona jest nierówność
$$7x^3 + 4x^2y \ge y^3 + 2xy^2 - x^3$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie:
$$|x - 3| = 2x + 11$$

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o $2$ mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o $3$ mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$.
Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3} \cdot |DP| \cdot |CP|$.

Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m$ przez dwumian $x + 2$ jest równa $(-30)$.
Oblicz $m$ i dla wyznaczonej wartości $m$ rozwiąż nierówność $W(x) \ge 0$.

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_1 = 675$ i $a_{22} = \dfrac{5}{4}a_{23} + \dfrac{1}{5}a_{21}$.
Ciąg $(b_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_n)$. Ponadto $a_3 = b_4$. Oblicz $b_1$.

Rozwiąż równanie $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ w przedziale $\langle 0, \pi \rangle$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie
$$x^2 - (m + 1)x + m = 0$$
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$, spełniające warunki:
$$x_1$$
eq 0, \quad x_2
eq 0 \quad \text{oraz} \quad \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + 2 = \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2}

Dany jest graniastosłup prosty $ABCDEFGH$ o podstawie prostokątnej $ABCD$. Przekątne $AH$ i $AF$ ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze $\alpha$ takiej, że $\sin \alpha = \dfrac{12}{13}$ (zobacz rysunek).
Pole trójkąta $AFH$ jest równe $26{,}4$.
Oblicz wysokość $h$ tego graniastosłupa.

Punkt $A = (-3, 2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Pole tego trójkąta jest równe $15$. Bok $BC$ zawarty jest w prostej o równaniu $y = x - 1$.
Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym $18$.
a) Wykaż, że pole $P$ każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości $b$ ramienia, wyraża się wzorem $P(b) = \dfrac{(18 - 2b) \cdot \sqrt{18b - 81}}{2}$.
b) Wyznacz dziedzinę funkcji $P$.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................