Matura CKE Maj 2023 – Matematyka Rozszerzona

W chwili początkowej ($t = 0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama.
Zapisz obliczenia.

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\dfrac{1}{4}$.
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{3x^2 - 2x}{x^2 + 2x + 8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Punkt $P = (x_0, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Zapisz obliczenia.

Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x + y = 4$ i nierówność $x^3 - x^2y \leq xy^2 - y^3$.
Wykaż, że $x = 2$ oraz $y = 2$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ABC| = 90^\circ$ oraz $|\sphericalangle CAB| = 60^\circ$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK| = |BL| = 1$ (zobacz rysunek).
Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD| = 2$.
Wykaż, że $|ND| = \sqrt{3} + 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Rozwiąż równanie
$$4\sin(4x)\cos(6x) = 2\sin(10x) + 1$$
Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta.
Zapisz obliczenia.

Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC| = 4$ i $|CD| = 5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^\circ$, natomiast z bokiem $AB$ – kąt ostry, którego sinus jest równy $\dfrac{1}{4}$.
Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność
$$\sqrt{x^2 + 4x + 4} < \dfrac{25}{3} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}$$
Zapisz obliczenia.
Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2} = |a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

Określamy kwadraty $K_1$, $K_2$, $K_3$, ... następująco:
• $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$
• $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
• $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$,
• $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$
eq 2, dla których równanie
$$x^2 + 4x - \dfrac{m - 3}{m - 2} = 0$$
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^3 + x_2^3 > -28$.
Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta $l$ o równaniu $x - y - 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = 4x^2 - 7x + 1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\tg \alpha = \dfrac{1}{3}$ (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.