Matura CKE Styczeń 2006 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 11. (6 pkt)
Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(m) = x_1 \cdot x_2$, gdzie $x_1$, $x_2$ są różnymi pierwiastkami równania $(m+2)x^2 - (m+2)^2x + 3m + 2 = 0$, w którym $m \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Zadanie 12. (4 pkt)
Rozwiąż układ równań
$$\begin{cases} |x| - y = 1 \ x^2 + (y+1)^2 = 8 \end{cases}$$

Zadanie 13. (5 pkt)
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \log_x \left(4^x - 12 \cdot 2^x + 32\right)$.

Zadanie 14. (4 pkt)
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość $a$ ($a > 0$).

Zadanie 15. (4 pkt)
Rozwiąż równanie: $\dfrac{1}{\sin x} + \operatorname{ctg} x + \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = 0$.

Zadanie 16. (4 pkt)
Para $(\Omega, P)$ jest przestrzenią probabilistyczną, a $A \subset \Omega$ i $B \subset \Omega$ są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli $P(A \cup B) = 1$, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym tj. $P(A) = 1$ lub $P(B) = 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 17. (5 pkt)
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji $f$.
a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja $f$ jest malejąca.
b) Wyznacz wartość $x$, dla której funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne. Odpowiedź uzasadnij.
c) Wiedząc, że punkt $A = (1, 2)$ należy do wykresu funkcji $f$, napisz równanie stycznej do krzywej $f$ w punkcie $A$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 18. (8 pkt)
Punkty $A = (7, 8)$ i $B = (-1, 2)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|\measuredangle BCA| = 90^\circ$.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$, wiedząc, że leży on na osi $OX$.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ w jednokładności o środku w punkcie $P = (1, 0)$ i skali $k = -2$.

Zadanie 19. (6 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa $a$. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę $45^\circ$. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 20. (4 pkt)
Ciąg $(a_n)$ określony jest rekurencyjnie w następujący sposób:
$$\begin{cases} a_1 = 2 \ a_{n+1} = \dfrac{a_n}{a_n + 1} \text{ dla dowolnego } n \geq 1. \end{cases}$$
Wykaż, korzystając z zasady indukcji matematycznej, że ciąg $(a_n)$ można określić za pomocą wzoru ogólnego $a_n = \dfrac{2}{2n - 1}$, gdzie $n \geq 1$.