Matura Operon Listopad 2009 – Matematyka Rozszerzona – Arkusz i Zadania

0 – 4 pktuklady_rownan

Rozwiąż układ równań:

\begin{cases} 3 = |x| + |y| \ 3 = 2|x| + y \end{cases}

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 2.Otwarte

0 – 5 pkttrygonometria

Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest

\sin x + \cos x

, wiedząc, że

x \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)

i

(1 + \sin x)\left(\dfrac{1}{\cos x} - \text{tg}\,x\right) + \dfrac{1}{3} = 0

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 3.Otwarte

0 – 5 pktanalityczna

Obrazem odcinka

AB

, gdzie

A = (1, 0)

i

B = (2, 1)

w jednokładności o skali

k > 1

i środku

P

jest odcinek

CD

, gdzie

C = (4, 0)

,

D = (6, 2)

.
Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie

P

i promieniu

|AB|

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 4.Dowod

0 – 4 pktlogarytmy

Wykaż, że dla

a > 1

i

x > 1

zachodzi nierówność

\log_a x + \log_x a \ge \log 100

.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 5.Otwarte

0 – 3 pktciagi

Spiralę tworzymy następująco: kreślimy półokrąg o średnicy

|AB| = 2r

i środku

O

, do tego półokręgu dorysowujemy półokrąg o średnicy

OB

i środku

C

. Następnie kreślimy półokrąg o średnicy

OC

i środku

D

itd. Oblicz długość spirali złożonej z dziesięciu tak otrzymanych półokręgów.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 6.Dowod

0 – 5 pktwielomiany

Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu

W(x) = x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4

jest liczbą wymierną.

Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 7.Otwarte

0 – 4 pktanalityczna

Punkty równoodległe od prostej o równaniu

y = -\dfrac{1}{2}

i punktu

P = \left(0, \dfrac{1}{2}\right)

należą do wykresu funkcji

f

.
Znajdź wzór tej funkcji.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 8.Otwarte

0 – 4 pktplanimetria

Boki trójkąta

ABC

są równe

a, b, c

. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka

A

do boku

a

.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 9.Otwarte

0 – 5 pktliczby_naturalne

Liczby naturalne parzyste od

2

do

100

zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną

a

.
Czy liczba

a

jest kwadratem pewnej liczby naturalnej? Wskazówka: zbadaj podzielność sumy cyfr.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 10.Otwarte

0 – 5 pktparametr

Określ, dla jakich wartości parametru

k

równanie

x^2 + (k + 1)x + 0{,}5(k + 5) = 0

ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Zadanie 11.Otwarte

0 – 6 pktplanimetria

Trapez o ramionach długości

6

i

10

jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku

3 : 5

. Oblicz długości podstaw trapezu.

...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie egzaminacyjneRozwiąż zadanie i sprawdź odpowiedź

Matura Operon Listopad 2009 – Matematyka Rozszerzona

Zadania z tego arkusza (11)

Chcesz przećwiczyć więcej arkuszy z przedmiotu Matematyka Rozszerzona?