Matura OPERON Listopad 2018 – Matematyka Rozszerzona

Jeżeli $(a_n)$ jest nieskończonym i niemonotonicznym ciągiem geometrycznym, w którym $a_1 = 16$ i $a_3 = 1$, to suma wszystkich jego wyrazów wynosi:

Dziedziną funkcji $f(x) = \log_{x+1}(4 - x^2)$ jest:

Równanie $\left|3 - \dfrac{1}{x}\right| = m$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:

Funkcja $f(x) = \dfrac{x+3}{(x-2)^2}$:

Czworokąt $ABCD$ przedstawiony na rysunku jest wpisany w okrąg. Miara kąta $\alpha$ jest równa:

Oblicz granicę $\lim_{x \to -2} \left( \dfrac{x-3}{x+2} - \dfrac{x^3-52}{x^3+8} \right)$. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rozwiąż nierówność $3x - |2x - 7| < 11$.

Rozwiąż równanie $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + \cos x = \dfrac{3}{2}$ w przedziale $\langle 0; 2\pi \rangle$.

Trapez prostokątny jest opisany na okręgu o promieniu $5$. Kąt ostry trapezu ma miarę $45^\circ$. Oblicz długości odcinków, na które punkt styczności okręgu podzielił ramię pochyłe trapezu.

W trójkącie $ABC$: $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BC| = a$ oraz $|\angle BAC| = \alpha$ i $|\angle ABC| = \beta$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli $\alpha = 2\beta$, to $a^2 - b^2 = bc$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wielomian $W(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ jest podzielny przez trójmian $x^2 + x - 6$, a przy dzieleniu przez dwumian $x + 1$ daje resztę $6$. Wyznacz wartości współczynników $a, b$ i $c$.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych od $30$ losujemy kolejno $2$ razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy w ten sposób parę liczb, których iloczyn jest mniejszy od $30$ pod warunkiem, że pierwsza wylosowana liczba jest mniejsza od drugiej wylosowanej liczby.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których dwa różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$ równania $(m + 1)x^2 + 2\sqrt{2}x - m^2 + 2 = 0$ spełniają warunek $x_1^2 + x_2^2 \ge m - x_1 x_2$.

Liczbę $272$ przedstaw w postaci sumy czterech całkowitych składników tworzących ciąg geometryczny i takich, że trzeci składnik jest o $48$ większy od pierwszego.

Napisz równania wszystkich prostych, które są jednocześnie styczne do paraboli o równaniu $y = \dfrac{1}{4}x^2 - 1$ i do okręgu o równaniu $x^2 + (y + 6)^2 = 8$.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym suma długości trzech różnych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi $S$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję długości jednej z jego krawędzi i podaj dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.