Matura Próbna CKE Grudzień 2014 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (0–1)
Wielomian $W(x) = 2x^3 - bx^2 - 1$ jest podzielny przez dwumian $x + 1$. Wynika stąd, że

Zadanie 2. (0–1)
Okrąg o równaniu $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

Zadanie 3. (0–1)
Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x) = x^5 + 5x - 1$

Zadanie 4. (0–1)
Każda liczba $x$ należąca do przedziału otwartego $\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4}\right)$ spełnia nierówność

Zadanie 5. (0–1)
Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f(x) = 3^{x-2} + 3$. Prosta $l$ ma równanie $y = 3{,}3$. Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji $f$ i prosta $l$?

Zadanie 6. (0–2)
Dane są liczby $a$, $b$ takie, że $a - b = 4$ i $ab = 7$. Oblicz $a^3b + ab^3$. Zakoduj w kratkach poniżej kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Zadanie 7. (0–2)
Długości boków prostokąta są równe $3$ oraz $5$. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Zadanie 8. (0–2)
Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n^2}{n + 2} - \dfrac{(n + 2)^2}{n + 444} \right)$.

Zadanie 9. (0–2)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$
eq 4. Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x = 12$.

Zadanie 10. (0–3)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y = 4x + 7$.

Zadanie 11. (0–3)
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$, spełniające równanie $\sin 5x - \sin x = 0$.

Zadanie 12. (0–3)
Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\dfrac{1}{2^n}$, dla $n \geq 1$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(P_n)$.

Zadanie 13. (0–3)
Wykaż, że jeżeli $a > b \geq 1$, to $\dfrac{a}{2 + a^3} < \dfrac{b}{2 + b^3}$.

Zadanie 14. (0–4)
Wykaż, że jeżeli $\alpha, \beta, \gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta < \sin^2 \gamma$, to $\cos \gamma < 0$.

Zadanie 15. (0–3)
Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ prostokąta $ABCD$, w którym $AB > BC$. Punkt $F$ leży na boku $CD$ tego prostokąta oraz $\sphericalangle AEF = 90^{\circ}$. Udowodnij, że $\sphericalangle BAE = \sphericalangle EAF$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 16. (0–5)
Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Zadanie 17. (0–6)
Dany jest okrąg $o_0$ o równaniu $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$. W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_1$, $o_2$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_0$ i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów $o_1$ oraz $o_2$.

Zadanie 18. (0–7)
Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po $4$ dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.