Matura Próbna CKE Styczeń 2005 – Matematyka Rozszerzona

Pierwiastkiem równania $2x^3 - (3m - 1)x^2 + 7x - m = 0$ jest liczba $-1$. Wyznacz wartość parametru $m$ oraz pozostałe pierwiastki tego równania.

W trójkącie $ABC$, o kącie rozwartym przy wierzchołku $C$ dane są długości boków $|AC| = 5\text{ cm}$ i $|BC| = 12\text{ cm}$. Oblicz długość boku $AB$ wiedząc, że pole trójkąta jest równe $24\text{ cm}^2$.

Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania $\sin 3x = \text{ctg}\dfrac{25}{2}\pi$, które spełniają nierówność $|x - 5\pi| \leq 5\pi$.

Dany jest ciąg liczbowy $a_n = 3n^2 - 3n + 2$ określony dla dowolnej liczby $n \in \mathbb{N}_+$.
a) Wykaż, korzystając z definicji monotoniczności ciągu, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący.
b) Oblicz granicę $\lim_{n \to \infty}\dfrac{\sqrt[3]{8n^6 + n}}{1 - a_n}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Funkcja $f$ dana jest wzorem $f(x) = x^3 - 6x^2 + c$ dla $x \in \mathbb{R}$ i $c \in \mathbb{R}$.
a) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -1, 3 \rangle$, wiedząc, że $f(0) = 8$.
b) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f$.

Jednokierunkowa droga o szerokości $8\text{ m}$ prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu, przedstawiony na poniższym rysunku, ma kształt zbliżony do łuku paraboli o równaniu: $y = -\dfrac{3}{8}x^2 + 6$. Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy ciężarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości $4,8$ metra może przejechać tym tunelem, jeżeli najwyższy punkt kontenera znajduje się $4$ metry nad drogą.

Okrąg $o_1$ określony jest równaniem: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$.
a) Napisz równanie okręgu $o_2$ współśrodkowego z okręgiem $o_1$, przechodzącego przez punkt $A = (6; 0)$.
b) Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgami $o_1$ i $o_2$.

Do salaterki wlano rozpuszczoną galaretkę, która po zastygnięciu przybrała kształt stożka ściętego. Przekrój osiowy tej bryły był trapezem równoramiennym o wysokości $6\text{ cm}$ i podstawach długości $14\text{ cm}$ i $26\text{ cm}$.
Oblicz objętość wlanego płynu. W obliczeniach przyjmij, że $\pi \approx 3,14$, a wynik podaj z dokładnością do $1\text{ cm}^3$.

Krótki łańcuch choinkowy składa się z dwudziestu żarówek. Dla każdej z żarówek prawdopodobieństwo, że będzie działać przez co najmniej $300$ godzin jest równe $0,9$.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w krótkim łańcuchu w ciągu $300$ godzin przepali się co najwyżej jedna żarówka. W obliczeniach możesz przyjąć, że $(0,9)^{19} \approx 0,14$.
b) W skrzyni jest $6$ łańcuchów krótkich i $4$ łańcuchy długie. Do dekoracji choinki użyto cztery losowo wybrane łańcuchy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do dekoracji użyto dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich.