Próbna Matura Operon Listopad 2013 – Matematyka Rozszerzona

Zadanie 1. (4 pkt)
Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru $m$ równanie: $-x^2 + (2m^2 + 3)x - m^4 - 1 = 0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Zadanie 2. (5 pkt)
Narysuj wykres funkcji: $f(x) = \begin{cases} -2^{x+1} + 2, & \text{dla } x \le 0 \ -|x - 4| + 4, & \text{dla } x > 0 \end{cases}$.
Określ liczbę rozwiązań równania $|f(x)| = m$ w zależności od parametru $m$.

Zadanie 3. (4 pkt)
O wielomianie $W(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ wiadomo, że liczba $1$ jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x + 2$. Oblicz współczynniki $a, b, c$. Dla obliczonych wartości $a, b, c$ rozwiąż nierówność $W(x + 1) < 0$.

Zadanie 4. (3 pkt)
Liczby $a, b, k$ są całkowite i $k$ jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby $a + b$ oraz $a \cdot b$ są podzielne przez $k$, to liczba $a^3 - b^3$ też jest podzielna przez $k$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 5. (4 pkt)
Określ dziedzinę funkcji: $f(x) = \sqrt{\log_2 \left( \log_{\dfrac{1}{3}} (x + 1) \right)}$.

Zadanie 6. (5 pkt)
Wiedząc, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu $(b_n)$ określony jest wzorem $b_n = 5^{a_n}$, wykaż, że ciąg $(b_n)$ jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w zależności od $n$, iloczyn $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot \ldots \cdot b_n$, przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $1$, a jego różnica jest równa $3$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 7. (5 pkt)
Rozwiąż równanie: $\sin x |\cos x| = 0{,}25$, gdzie $x \in \langle 0, 2\pi \rangle$.

Zadanie 8. (4 pkt)
Okrąg o środku $A$ i promieniu długości $r$ jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku $B$ i promieniu długości $R$ ($R > r$). Prosta $k$ jest styczna jednocześnie do obu okręgów i tworzy z prostą $AB$ kąt ostry $\alpha$. Wyznacz $\sin \alpha$ w zależności od $r$ i $R$.

Zadanie 9. (4 pkt)
W trójkącie $ABC$ punkty $K = (2, 2)$, $L = (-2, 1)$ i $M = (-1, -1)$ są odpowiednio środkami boków $AB$, $BC$, $AC$. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta $A'B'C'$, który jest obrazem trójkąta $ABC$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Zadanie 10. (4 pkt)
W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $B$ jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa $5$ oraz $|AC| = 6$, $|AB| = 10$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $K$, że $|BK| = 2$. Oblicz długość odcinka $AK$.

Zadanie 11. (4 pkt)
W zielonym pudełku jest $10$ monet pięciozłotowych i $5$ monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są $2$ monety pięciozłotowe i $3$ monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie $2$ monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie $7$ złotych.

Zadanie 12. (4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $a$. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.