Próbna Matura Operon Listopad 2024 – Matematyka Rozszerzona

Wykaż, że $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 5 \cdot \log_{5} 6 \cdot \log_{6} 7 \cdot \log_{7} 8$ jest liczbą naturalną. Zapisz obliczenia.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Na bokach $BC$ i $CD$ równoległoboku $ABCD$ zbudowano kwadraty $CDEF$ i $BCGH$ (zobacz rysunek).
Udowodnij, że $|AC| = |EG|$. Zapisz obliczenia.

Wielokąt wypukły ma $n$ wierzchołków, z których losujemy jednocześnie $2$.
Oblicz liczbę $n$ wierzchołków, wiedząc, że prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ (wylosowane wierzchołki utworzą przekątną tego wielokąta) jest równe $0,9$. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x}$, $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y = ax + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej oraz podaj ekstrema funkcji, o ile istnieją. Zapisz obliczenia.

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o $1$, drugą liczbę zwiększymy o $15$, a trzecią zwiększymy o $37$, to otrzymamy ciąg geometryczny.
Wyznacz te liczby, jeśli wiadomo, że ich suma jest równa $63$. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2 \cos x - \sqrt{3}}{\cos^2 x} < 0$ w przedziale $\langle 0; 2\pi \rangle$. Zapisz obliczenia.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa i każde z ramion ma długość $5\text{ cm}$.
Oblicz długość dłuższej podstawy dla trapezu o największym polu i oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Punkt $A(-4; -1)$ jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okręgu o równaniu $x^2 + y^2 + 6y - 1 = 0$.
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + 2(m + 1)x + 6m + 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $|x_1 - x_2| < 3$. Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ (patrz rysunek) wysokość jest równa $5$, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$.
Oblicz objętość bryły. Zapisz obliczenia.

W urnie znajdują się $2$ kule białe i $6$ kul czarnych. Losujemy $2$ kule bez zwracania.
Które ze zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: wyciągnięcie kul o różnych kolorach czy wyciągnięcie kul tego samego koloru? Ile należy dołożyć do urny kul białych, aby zdarzenia te były jednakowo prawdopodobne? Zapisz obliczenia.