Przykładowy Zestaw Zadań OKE Marzec 2008 – Matematyka Rozszerzona

Punkty $A = (-2, 12)$ i $B = (6, -2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego trójkąta, wiedząc, że leży on na prostej o równaniu $x + 3y = 22$. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Wykres funkcji $f(x) = \dfrac{a}{x}$ dla $x \in R \setminus \{0\}$, gdzie $a$
eq 0, przesunięto o wektor $\vec{u} = [-3, 2]$ i otrzymano wykres funkcji $g$. Do wykresu funkcji $g$ należy punkt $A = (-4, 6)$. Oblicz $a$, następnie rozwiąż nierówność $g(x) < 4$.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji logarytmicznej opisanej wzorem $f(x) = \log_p x$.
a) Na podstawie tego wykresu wyznacz $p$.
b) Oblicz $f(0{,}125)$.
c) Sporządź wykres funkcji $g(x) = |f(x - 4)|$.
d) Podaj miejsce zerowe funkcji $g$.

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi $a$, zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe $H$ i $h$. Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę $\alpha$.
a) Wyraź $\operatorname{tg} \alpha$ w zależności od wielkości $a$ i $H$.
b) Wyraź $\cos \alpha$ w zależności od wielkości $a$ i $h$.
c) Wykaż, że jeśli $a^2 = H \cdot h$, to $\sin \alpha = \sqrt{2} - 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $y = x^2$ dla $x \in \langle 0, 1 \rangle$ i osią $Ox$ możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę $n$ prostokątów o szerokości $\dfrac{1}{n}$ każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.
a) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla $n = 4$ i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
b) Oblicz sumę $S_n$ pól $n$ prostokątów, wykorzystując wzór:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.

Wykaż, że wielomian $W(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 6x + 9$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dana jest funkcja $f(x) = \sin^2 x + \cos x$ dla $x \in R$.
a) Rozwiąż równanie $f(x) = 1$ w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$.
b) Wyznacz największą wartość funkcji $f$.

Podstawą ostrosłupa $ABCD$ jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $\sqrt{2}$. Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt $P$ został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów $ABDP$, $BCDP$, $ACDP$, $ABCP$ opuszczone z wierzchołka $P$ mają tę samą długość $H$. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz $H$.

Grupa 4 kobiet i 4 mężczyzn, w tym jedno małżeństwo, wybrała się na pieszą wycieczkę. Na wąskiej ścieżce musieli iść gęsiego tzn. jedno za drugim. Zakładamy, że wszystkie możliwe ustawienia tych osób są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed mężem. Sprawdź, czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze od $0{,}001$.

Dany jest ciąg $x_n = -1 - n$ dla $n \ge 1$. Ciąg $(y_n)$ ma tę własność, że dla każdego $n \ge 1$ punkty o współrzędnych $(x_n, 0)$, $(-1, 1)$, $(0, y_n)$ leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny ciągu $(y_n)$.

Długości boków trójkąta prostokątnego są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu.