Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji $y = x^2$ dla $x \in \langle 0, 1 \rangle$ i osią $Ox$ możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę $n$ prostokątów o szerokości $\dfrac{1}{n}$ każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.\n\na) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla $n = 4$ i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.\nb) Oblicz sumę $S_n$ pól $n$ prostokątów, wykorzystując wzór:\n$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.\n\n[odp_otwarta1][img1][img2]

$S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ lub $S_n = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

Zadanie 5. Przykładowy Zestaw Zadań OKE Marzec 2008

(0 - 4)

ciagi

Wybierz zadanie

Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji

y = x^2

dla

x \in \langle 0, 1 \rangle

i osią

Ox

możemy obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę

n

prostokątów o szerokości

\dfrac{1}{n}

każdy (patrz rysunek) i sumując ich pola.
a) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla

n = 4

i oblicz sumę pól otrzymanych prostokątów.
b) Oblicz sumę

S_n

pól

n

prostokątów, wykorzystując wzór:

1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

Zadanie 7. (0–2)
Na rysunku przedstawiono fragment nieskończonego ciągu na przemian czarnych i białych kwadratów o wspólnym wierzchołku

D

A_1B_1C_1D

3\sqrt{13}

\dfrac{2}{3}

K

8

C_1

C_1

C_2

C_3

C_4

K + C_1 + C_2 + ... + C_n

15\dfrac{3}{4}

n

(a_n)

a_1 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{100}

a_{n+1} = \left(\dfrac{2}{3}\right) \cdot a_n

n \geq 1

Załóż darmowe konto, by uzyskać nielimitowany, wygodny dostęp do odpowiedzi do wszystkich zadań maturalnych!