Test diagnostyczny CKE Grudzień 2024 – Matematyka Rozszerzona

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością
$$Q(t) = Q_0 \cdot \beta^{-t} \quad \text{dla} \quad t \ge 0$$
gdzie:
$Q_0$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej ($t = 0$) wyrażony w milikulombach
$Q$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach
$\beta$ – stała dodatnia
$t$ – czas wyrażony w sekundach.
Wiadomo, że w chwili $t = 4\text{ s}$ w kondensatorze był zgromadzony ładunek $2$ milikulombów, a w chwili $t = 6\text{ s}$ – ładunek $18$ milikulombów.
Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t = 5\text{ s}$. Zapisz obliczenia.

Okrąg $O$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0 < |AM| < |AN| < |AB|$.
Wykaż, że jeśli $|AM| = |BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi(\sqrt{3} + 1)$.
Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są:
okrąg o równaniu $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 50$ i punkty $A = (6, 4)$ oraz $B = (-6, 8)$.
Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC| = |BC|$.
Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę
$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)}{\binom{n}{2}}$$
gdzie $1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + 1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie
$$\sin^4 x = \sin x \cdot \cos x - \cos^4 x$$
w zbiorze $[-\pi, 2\pi]$. Zapisz obliczenia.

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, spełniają warunek $a_3 + a_5 = 10$.
Trzywyrazowy ciąg $(2a_1 + 4, a_4 - 1, -\dfrac{1}{8}a_7)$ jest geometryczny.
Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określona wzorem
$$f(x) = x^2 - 3x - m^2 + m + 3$$
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1, x_2$ spełniające warunek $|x_1^2 - x_2^2| \le 12$. Zapisz obliczenia.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ miara kąta $BAC$ jest dwa razy większa od miary kąta $ABC$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $ABC$, natomiast $\beta$ – miarę kąta $ADC$ (zobacz rysunek).
Oblicz $\dfrac{\text{tg } \beta}{\sin (2\alpha)}$. Zapisz obliczenia.