Zadanie 29. Matura CKE Czerwiec 2020

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ACB| = 90^\circ$ i $|\angle ABC| = 60^\circ$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD| : |DB| = 3 : 1$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest równoległobok $ABCD$. Na przedłużeniu przekątnej $AC$ wybrano punkt $E$ tak, że $|CE| = \dfrac{1}{2}|AC|$ (zobacz rysunek).[img1] Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $DCE$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$, a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek).[img1] Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$, a ponadto $|AC| = r\sqrt{3}$. Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę $120^\circ$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................