Zadanie 9. Próbna Matura OPERON Listopad 2008

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna $ABC$ zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $\alpha = 60^\circ$. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się $8\sqrt{3}$. Zaznacz na poniższym rysunku kąt $\alpha$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
[img1]

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa $2a$. Miara kąta między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa $\alpha$. Oblicz objętość graniastosłupa.

Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru $V = \dfrac{1}{3}\pi H \left(r^2 + rR + R^2\right)$, gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw ($r < R$), a $H$ jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa $10$, objętość $840\pi$, a $r = 6$. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
[img1]