Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jest trapez równoramienny $ABCD$ wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$. Dłuższa podstawa $AB$ trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze $2\alpha$ (zobacz rysunek).[img1] Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia $R$ i miary kąta $\alpha$.\n\n[odp_otwarta1]

$V = R^3 \sin \alpha \cdot (1 + \sin \alpha)\sqrt{2 - 2 \sin \alpha}$

Zadanie 12. Matura CKE Czerwiec 2022

(0 - 5)

stereometria

Wybierz zadanie

Podstawą graniastosłupa prostego

ABCDA_1B_1C_1D_1

jest trapez równoramienny

ABCD

wpisany w okrąg o środku

O

i promieniu

R

. Dłuższa podstawa

AB

trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze

2\alpha

(zobacz rysunek).
Rysunek 1 do zadania

Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

\alpha

. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia

R

i miary kąta

\alpha

ABC

\alpha = 60^\circ

8\sqrt{3}

\alpha

2a

\alpha

V = \dfrac{1}{3}\pi H \left(r^2 + rR + R^2\right)

r

R

r < R

H

10

840\pi

r = 6

Załóż darmowe konto, by uzyskać nielimitowany, wygodny dostęp do odpowiedzi do wszystkich zadań maturalnych!