Zadanie 7. Matura SMWP Marzec 2025

Zadanie 7. (0–2)
Na rysunku przedstawiono fragment nieskończonego ciągu na przemian czarnych i białych kwadratów o wspólnym wierzchołku $D$. Kwadrat $A_1B_1C_1D$ koloru czarnego ma bok długości $3\sqrt{13}$. Długość boku każdego następnego kwadratu stanowi $\dfrac{2}{3}$ długości boku kwadratu poprzedniego. Oblicz pole obszaru zaznaczonego kolorem czarnym w nieskończonym ciągu tych kwadratów.
[img1]

Pole kwadratu $K$ jest równe $8$. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt $C_1$. Następnie połączono środki boków czworokąta $C_1$, tworząc czworokąt $C_2$. W podobny sposób utworzono czworokąty $C_3$, $C_4$, ...[img1]Suma pól czworokątów $K + C_1 + C_2 + ... + C_n$ jest równa $15\dfrac{3}{4}$. Znajdź liczbę $n$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: $a_1 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{100}$ oraz $a_{n+1} = \left(\dfrac{2}{3}\right) \cdot a_n$ dla $n \geq 1$. Wówczas