Matura CKE Czerwiec 2023 – Fizyka Rozszerzona

Ze szczytu równi pochyłej puszczano kulkę. Kulka staczała się z równi bez poślizgu. Po stoczeniu się z równi kulka poruszała się dalej wzdłuż prostej po poziomo ułożonym dywanie. Ruch kulki po dywanie został sfilmowany. Dzięki temu wyznaczono wartości $v$ prędkości kulki na dywanie w kilku ustalonych położeniach $x$, licząc od punktu $x = 0$ końca równi pochyłej. Następnie obliczono wartości $v^{2}$. Wyniki doświadczenia oraz niepewności $\Delta v^{2}$ wielkości $v^{2}$ przedstawiono w poniższej tabeli. Pomiar $x$ przyjmij za dokładny.

$x$, m	0	0,20	0,40	0,60	0,80
$v^{2}$, m$^{2}$/s$^{2}$	0,098	0,078	0,054	0,037	0,014
$\Delta v^{2}$, m$^{2}$/s$^{2}$	0,004	0,004	0,003	0,003	0,002

W zadaniach 1.1.–1.2. przyjmij, że ruch postępowy kulki po dywanie był ruchem jednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem o wartości bezwzględnej $a$. Prędkość kulki na początku ruchu po dywanie, czyli w $x = 0$, oznaczymy jako $v_{0}$. Zależność między kwadratem wartości prędkości kulki a przebytą drogą $s = x$ i wartością przyśpieszenia $a$ wyraża się wzorem:
$$v^{2} = v_{0}^{2} - 2 a s$$

Dwie identyczne kule K1 i K2, każda o masie $m$, poruszają się naprzeciwko siebie w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ z prędkościami $\vec{v}_{1}$ (kula K1) oraz $\vec{v}_{2}$ (kula K2). Środki kul poruszają się wzdłuż prostej $l$. Wartości prędkości tych kul przed zderzeniem spełniają równanie:
$$v_{1} = 2v_{2}$$
Sytuację przed zderzeniem kul ilustruje rysunek poniżej.

Jednorodna belka podparta w punkcie $O$ – w środku swojej długości – utrzymuje się nieruchomo w pozycji poziomej (zobacz rysunek 1.).
Rysunek 1.
W pierwszym etapie doświadczenia, na przeciwległych końcach tej belki zawieszono (na cienkich, lekkich nitkach) dwa jednorodne klocki A i B. Klocki były wykonane z różnych materiałów i miały kształty sześcianów o krawędziach odpowiednio $a_{A} = 2 \text{cm}$ i $a_{B} = 4 \text{cm}$. Po zawieszeniu klocków belka wciąż pozostawała w równowadze (zobacz rysunek 2.).
Rysunek 2.
W drugim etapie doświadczenia obydwa sześciany zanurzono całkowicie w naczyniu z wodą o gęstości $\rho_{w} = 1000 \text{kg/m}^{3}$, a belkę zrównoważono dodatkowym ciężarkiem C, który położono na jednym z końców belki (zobacz rysunek 3.). Belka w ten sposób zrównoważona utrzymywała się nieruchomo w pozycji poziomej.
Rysunek 3.

Uczniowie wyznaczali przyśpieszenie ziemskie. W doświadczeniu użyli linijki, stopera, sprężyny, ciężarka i statywu. Najpierw uczniowie zamocowali sprężynę na statywie tak, że zwisała ona pionowo. Następnie zawiesili na końcu sprężyny ciężarek. Gdy ciężarek zwisał nieruchomo, to wydłużenie sprężyny ponad jej długość swobodną było równe $x = 7,8 \text{cm}$.
Po wprawieniu ciężarka w drgania pionowe uczniowie zmierzyli czas $t_{n} = 11,2 \text{s}$ pewnej liczby $n$ pełnych drgań ciężarka. Na podstawie pomiaru czasu $t_{n}$ uczniowie wyznaczyli okres drgań ciężarka: $T = 0,56 \text{s}$. Pomijamy masę sprężyny.

Dwa miedziane pręty ułożono równolegle w płaszczyźnie poziomej. Do końców obu tych prętów podłączono oporniki o oporach elektrycznych $R_{1} = 3 \Omega$ oraz $R_{2} = 6 \Omega$. Odległość pomiędzy tymi prętami była równa $d = 0,4 \text{m}$. Na prętach położono miedzianą poprzeczkę, a całość umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $B = 0,2 \text{T}$. Wektor $\vec{B}$ indukcji magnetycznej tego pola był zwrócony prostopadle za płaszczyznę rysunku (zwrot pola oznaczono symbolem $\otimes$). Do poprzeczki przyłożono poziomą siłę $\vec{F}$, w wyniku czego zaczęła się ona poruszać w prawo i po pewnym czasie osiągnęła stałą prędkość o wartości $v = 1,5 \text{m/s}$ (zobacz rysunek 1.).
Przyjmij, że poprzeczka przesuwa się po prętach bez tarcia. Pomiń opór elektryczny poprzeczki i prętów oraz opór elektryczny na styku prętów i poprzeczki. Pomiń pole magnetyczne wytworzone przez prąd płynący w obwodzie. Końce poprzeczki wystają poza pręty.
Rysunek 1.

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajdowała się pewna ustalona masa powietrza. Tłok powoli przesuwano, w wyniku czego objętość powietrza wewnątrz cylindra się zmniejszała, a ciśnienie tego powietrza się zwiększało.
Podczas doświadczenia wykonano pięć pomiarów. W każdym z nich mierzono różnicę $\Delta p_{i}$ między ciśnieniem powietrza wewnątrz cylindra a ciśnieniem atmosferycznym, a także mierzono objętość $V_{i}$ powietrza w cylindrze ($i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$).
Do obliczeń przyjmij następujące dane oraz założenia:
- powietrze w cylindrze potraktuj jako gaz doskonały
- podczas pomiarów ciśnienie atmosferyczne było równe $p_{at} = 1020 \text{hPa}$
- temperatura powietrza w cylindrze w czasie pomiaru nr 5 wynosiła $22 ^{\circ}\text{C}$
- średnia masa molowa powietrza wynosi $\mu = 29 \text{g/mol}$.
Wyniki pomiarów przedstawiono w poniższej tabeli.

Nr pomiaru	1.	2.	3.	4.	5.
$V_{i}$, cm$^{3}$	60,0	50,0	40,0	30,0	20,0
$\Delta p_{i}$, hPa	100	300	600	1200	2300

Soczewka skupiająca może być wykorzystana do otrzymania prostego (nie – odwróconego) i powiększonego obrazu przedmiotu umieszczonego w powietrzu. Taka soczewka działa wtedy jako tzw. szkło powiększające (lupa).

Cztery największe księżyce Jowisza to: Io, Europa, Kallisto oraz Ganimedes. Orbity tych księżyców Jowisza możemy potraktować w pewnym przybliżeniu jako kołowe – tzn. długość promienia wodzącego każdego z księżyców, określona z dokładnością do dwóch cyfr znaczących, się nie zmienia.
Promienie orbit, po których poruszają się dookoła Jowisza księżyce: Io, Europa, Kallisto oraz Ganimedes, oznaczymy odpowiednio jako:
$$r_{I} \qquad r_{E} \qquad r_{K} \qquad r_{G}$$
Okresy obiegu dookoła Jowisza księżyców: Io, Europy, Kallisto oraz Ganimedesa, oznaczymy analogicznie jako:
$$T_{I} \qquad T_{E} \qquad T_{K} \qquad T_{G}$$
Stosunki okresów obiegu tych księżyców dookoła Jowisza, zaokrąglone do dwóch cyfr znaczących, są następujące:
$$T_{I} : T_{E} : T_{G} \approx 1,0 : 2,0 : 4,0 \qquad \text{oraz} \qquad T_{G} : T_{K} \approx 3,0 : 7,0$$

W początkowo spoczywającym atomie wodoru, w wyniku przejścia elektronu z poziomu energetycznego $n = 2$ na poziom energetyczny $n = 1$, został wyemitowany foton.
Wskutek emisji fotonu atom wodoru doznał odrzutu.
Przyjmij do obliczeń masę atomu wodoru $m_{at} \approx 1,6735 \cdot 10^{-27} \text{kg}$.
Wskazówki: (1) Do określenia energii kinetycznej atomu lub pędu atomu możesz używać wzorów mechaniki klasycznej Newtona. (2) Związek między energią fotonu i pędem fotonu jest następujący: $E_{fot} = c p_{fot}$, gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni.

Wiązkę protonów przyśpieszono w polu elektrycznym napięciem $U = 270 \text{kV}$ od prędkości początkowej równej $0$ do prędkości o wartości $v$. Przyśpieszona wiązka protonów pada na tarczę zawierającą jądra litu $^{7}_{3}\text{Li}$. W wyniku zderzenia pojedynczego protonu z nieruchomym jądrem litu $^{7}_{3}\text{Li}$ powstały dwie cząstki $\alpha$.
Całkowita energia kinetyczna cząstek $\alpha$ jest większa od energii kinetycznej protonu padającego na tarczę.
Masy jąder i cząstek uczestniczących w opisanej reakcji jądrowej, wyrażone w jednostkach atomowych, mają następujące wartości:
$m_{p} = 1,007276 \text{u}$ – masa protonu
$m_{\alpha} = 4,001506 \text{u}$ – masa cząstki $\alpha$ (jądra helu $^{4}\text{He}$)
$m_{Li} = 7,014357 \text{u}$ – masa jądra litu $^{7}_{3}\text{Li}$.