Matura CKE Maj 2020 – Fizyka Rozszerzona

Hokeista uderzył kijem w nieruchomy krążek. Po uderzeniu krążek uzyskał poziomą prędkość początkową o wartości $v_1 = 14 \text{ m/s}$. Dalej krążek poruszał się po powierzchni lodu ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym. Od momentu uzyskania prędkości $\vec{v}_1$ po uderzeniu aż do chwili zatrzymania się krążek przebył drogę $s_1 = 28 \text{ m}$.
W zadaniach 1.1.–1.4. przyjmij, że siła tarcia kinetycznego, działająca na krążek poruszający się po lodzie, ma stałą wartość, proporcjonalną do wartości ciężaru krążka. Pomiń inne siły działające na krążek w kierunku poziomym.

Ciało, które potraktujemy jako punkt materialny, początkowo poruszało się ruchem jednostajnym wzdłuż prostej $AB$ w układzie inercjalnym. Gdy ciało znalazło się w punkcie $B$, zostało uderzone. Na skutek zadziałania siły $\vec{F}$ w punkcie $B$ nastąpiła zmiana pędu ciała – po uderzeniu ciało poruszało się ruchem jednostajnym wzdłuż prostej $k$ z inną wartością prędkości niż przed uderzeniem.
Na poniższym rysunku zilustrowano fragment toru ruchu ciała w układzie współrzędnych $(x, y)$. Ponadto na fragmencie prostej $AB$ przedstawiono położenia ciała w czterech wybranych chwilach, pomiędzy którymi upływał jednakowy odstęp czasu $\Delta t = 1 \text{ s}$. Analogicznych położeń ciała wzdłuż fragmentu prostej $k$ nie przedstawiono. Narysowano wektor siły $\vec{F}$, która zadziałała w punkcie $B$. Długość każdego boku kratki na rysunku odpowiada rzeczywistej długości $1 \text{ m}$.
Do dalszej analizy opisanego ruchu przyjmij, że:

• czas działania siły $\vec{F}$ był na tyle krótki, że na rysunku pominięto zakrzywioną część toru ruchu od punktu $B$, gdy na ciało działała siła
• siła $\vec{F}$ była stała.

Drewnianą jednorodną belkę o ciężarze $Q = 120 \text{ N}$ i długości $l = 3 \text{ m}$ podwieszano pod sufitem na uchwytach $U_A$ i $U_B$. Uchwyt $U_A$ łączy się z belką w punkcie $A$, a uchwyt $U_B$ – w punkcie $B$. Mocowanie pojedynczego uchwytu do belki umożliwiało jej obrót w płaszczyźnie rysunku. Belkę zawieszono na dwóch uchwytach tak, że utrzymywała się nieruchomo w pozycji poziomej. Odległość między uchwytami wynosi $l_{AB} = 1 \text{ m}$.
Na rysunku 1. przedstawiono opisaną sytuację i oznaczono punkt $S$ – środek masy belki.
Rysunek 1.

Silnik cieplny to urządzenie działające cyklicznie, które w wyniku wymiany ciepła z otoczeniem wykonuje pracę. Załóżmy, że $T_1$ jest temperaturą źródła ciepła, z którego silnik pobiera ciepło w każdym cyklu pracy, a $T_2$ jest temperaturą chłodnicy, do której silnik oddaje ciepło w każdym cyklu. Zgodnie z zasadami termodynamiki, sprawność $\eta$ dowolnego silnika pracującego pomiędzy danymi temperaturami źródła ciepła i chłodnicy nie może przekraczać sprawności tzw. silnika idealnego, danej wzorem (temperatury wyrażone są w kelwinach):
$$\eta_{max} = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1}$$
Zaprojektowano dwa różne silniki cieplne $S_1$ oraz $S_2$, w których wykorzystuje się sprężanie i rozprężanie ustalonej masy gazu. Każdy z silników w jednym cyklu pracy pobiera po $100 \text{ J}$ ciepła ze źródła o temperaturze $477^{\circ}\text{C}$ i oddaje pewną ilość ciepła (inną dla każdego z silników) do chłodnicy o temperaturze $17^{\circ}\text{C}$. Do działania każdego z silników wykorzystano różne cykle termodynamiczne, tak aby:

• w cyklu pracy silnika $S_1$ ilość ciepła oddanego do chłodnicy była możliwie najmniejsza – tzn. tak mała, jak na to pozwalają prawa termodynamiki
• w cyklu pracy silnika $S_2$ praca sił parcia gazu podczas jego rozprężania wynosiła $34,8 \text{ J}$, a praca podczas sprężania gazu (przeciwko sile parcia) była równa $8,7 \text{ J}$.

Bezwzględny współczynnik załamania światła w ośrodku materialnym zależy w ogólności od częstotliwości światła, a więc zależy też od długości fali światła w próżni. Na wykresie poniżej przedstawiono zależność wartości $n$ bezwzględnego współczynnika załamania światła od długości fali $\lambda$ tego światła w próżni – dla pewnego rodzaju szkła. Na osi $\lambda$ zaznaczono szary odcinek odpowiadający w przybliżeniu zakresowi długości fal światła widzialnego w próżni. Przyjmij, że długości fal światła fioletowego i czerwonego odpowiadają krańcom zaznaczonego odcinka (światło czerwone w próżni ma większą długość fali od światła fioletowego).

Cztery oporniki $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ o jednakowym oporze elektrycznym $R$ połączono w obwód, który następnie podłączono do źródła stałego napięcia elektrycznego $U$. Na rysunku 1. przedstawiono schemat obwodu w sytuacji, gdy klucz K jest zamknięty, a na rysunku 2. – gdy klucz K jest otwarty. Przyjmij, że napięcie $U$ zasilające obwód jest takie samo w obu sytuacjach.

Trzy punktowe ładunki elektryczne dodatnie umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego o długości boku $a$. Wartości ładunków wynoszą: $Q$, $Q$, $q$, przy czym $Q > q$. Punkt $A$ jest środkiem boku łączącego te wierzchołki trójkąta, w których znajdują się jednakowe ładunki $Q$ (zobacz rysunek 1.). Punkt $S$ jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta.

Obiekt PSR 1257+12 jest gwiazdą neutronową o średnicy kilkunastu kilometrów. Ta gwiazda jest pulsarem milisekundowym, który obraca się wokół osi własnej 160 razy na sekundę. Wokół niego krążą pierwsze odkryte (przez polskiego astronoma Aleksandra Wolszczana) planety poza Układem Słonecznym. Układ składa się z pulsara jako gwiazdy centralnej i trzech planet krążących wokół tego pulsara. Jedną z nich jest planeta o nazwie Draugr, która okrąża pulsar po orbicie kołowej o promieniu $r = 0,19 \text{ au}$, w czasie $T = 25,3 \text{ doby}$ (ziemskiej).
Masa pulsara jest znacznie większa od masy każdej z okrążających go planet. Pomiń wzajemne oddziaływanie planet. Przyjmij, że $1 \text{ au} = 150 \text{ mln km}$ (au – jednostka astronomiczna).

Zadanie 9. (2 pkt)
Emisja fotonu przez atom wodoru następuje wtedy, gdy elektron przechodzi z poziomu energetycznego $n = a$ na niższy poziom energetyczny $n = b$ (gdzie $a > b$). Takie przejście oznaczymy jako $a \rightarrow b$. Rozważmy wybrane przejścia elektronu pomiędzy stanami w atomie wodoru:
$$3 \rightarrow 2 \quad \quad 7 \rightarrow 4 \quad \quad 4 \rightarrow 3 \quad \quad 4 \rightarrow 1$$
Częstotliwości fotonów emitowanych podczas tych przejść oznaczymy odpowiednio:
$$f_{32} \quad \quad f_{74} \quad \quad f_{43} \quad \quad f_{41}$$
Uporządkuj rosnąco wymienione powyżej częstotliwości emitowanych fotonów. Wpisz odpowiednie oznaczenia częstotliwości w każde z poniżej wyznaczonych miejsc, tak aby zapisana relacja była prawdziwa.
.................. < .................. < .................. < ..................

Zadanie 10. (2 pkt)
Do wytwarzania neutronów można wykorzystać próbkę zawierającą polon $^{218}\text{Po}$ oraz beryl $^9\text{Be}$. Polon ulega przemianie $\alpha$, dlatego próbka zawierająca ten izotop jest źródłem cząstek $\alpha$ (jąder helu), które następnie uderzają w jądra berylu. W wyniku reakcji cząstki $\alpha$ z jądrem berylu powstają jeden neutron oraz jedno jądro.
Uzupełnij dwa poniższe równania reakcji opisanych w treści zadania 10. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz liczby masowe.
1) $^{218}_{\text{..................}}\text{Po} \rightarrow \text{ }^{\text{..................}}_{82}\text{Pb} + \text{ }^{\text{..................}}_{\text{..................}}\alpha$
2) $^{\text{..................}}_{\text{..................}}\alpha + \text{ }^{9}_{\text{..................}}\text{Be} \rightarrow \text{ }^{\text{..................}}_{6}\text{C} + \text{ }^{\text{..................}}_{\text{..................}}\text{n}$

Zadanie 11. (3 pkt)
Jądro izotopu radu $^{224}\text{Ra}$ ulega rozpadowi alfa. Naukowcy podczas badania aktywności próbki zawierającej rad $^{224}\text{Ra}$ stwierdzili, że po $11 \text{ dobach}$ rozpada się $87,5\%$ początkowej liczby jąder tego radu w próbce.
Wyznacz czas połowicznego rozpadu alfa izotopu radu $^{224}\text{Ra}$.

Obiekt PSR 1257+12 jest gwiazdą neutronową o średnicy kilkunastu kilometrów. Ta gwiazda jest pulsarem milisekundowym, który obraca się wokół osi własnej 160 razy na sekundę. Wokół niego krążą pierwsze odkryte – przez polskiego astronoma Aleksandra Wolszczana – planety poza Układem Słonecznym. Układ składa się z pulsara jako gwiazdy centralnej i trzech planet krążących wokół tego pulsara. Jedną z nich jest planeta o nazwie Draugr, która okrąża pulsar po orbicie kołowej o promieniu $r = 0{,}19 \text{ au}$, w czasie $T = 25{,}3$ doby (ziemskiej).
Masa pulsara jest znacznie większa od masy każdej z okrążających go planet. Pomiń wzajemne oddziaływanie planet. Przyjmij, że $1 \text{ au} = 150 \text{ mln km}$ (au – jednostka astronomiczna).

Emisja fotonu przez atom wodoru następuje wtedy, gdy elektron przechodzi z poziomu energetycznego $n = a$ na niższy poziom energetyczny $n = b$ (gdzie $a > b$). Takie przejście oznaczymy jako $a \rightarrow b$. Rozważmy wybrane przejścia elektronu pomiędzy stanami w atomie wodoru:
$$3 \rightarrow 2 \hspace{2cm} 7 \rightarrow 4 \hspace{2cm} 4 \rightarrow 3 \hspace{2cm} 4 \rightarrow 1$$
Ustal, któremu spośród przedstawionych przejść elektronu pomiędzy stanami w atomie wodoru towarzyszy emisja fotonu o największej długości fali. Zapisz to przejście poniżej.
..................

Do wytwarzania neutronów można wykorzystać próbkę zawierającą polon $^{218}\text{Po}$ oraz beryl $^9\text{Be}$. Polon ulega przemianie $\alpha$, dlatego próbka zawierająca ten izotop jest źródłem cząstek $\alpha$ (jąder helu), które następnie uderzają w jądra berylu. W wyniku reakcji cząstki $\alpha$ z jądrem berylu powstają jeden neutron oraz jedno jądro.
Uzupełnij dwa poniższe równania reakcji opisanych w treści zadania 14. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe, liczby masowe oraz symbole pierwiastków. Skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych.
1) $\quad ^{218}_{\text{..................}}\text{Po} \rightarrow \text{}_{\text{..................}}^{\text{..................}}\text{..................} + \text{}_{\text{..................}}^{\text{..................}}\alpha$
2) $\quad \text{}_{\text{..................}}^{\text{..................}}\alpha + \text{}_{\text{..................}}^{9}\text{Be} \rightarrow \text{}_{\text{..................}}^{\text{..................}}\text{..................} + \text{}_{\text{..................}}^{\text{..................}}\text{n}$