Matura CKE Czerwiec 2014 – Matematyka Podstawowa

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$?

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę.
Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek $12 : 8 : 3 : 2$. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ wyrażenie $ab + a - b - 1$ jest równe

Na prostej o równaniu $y = ax + b$ leżą punkty $K = (1, 0)$ i $L = (0, 1)$. Wynika stąd, że

Dane są liczby: $a = \log_{3} \dfrac{1}{9}$, $b = \log_{3} 3$, $c = \log_{3} \dfrac{1}{27}$. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 3x - 4$ dla każdej liczby z przedziału $\langle -2, 2 \rangle$. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x) = 3x^2 + 7x + c$ jest liczba $\dfrac{-7}{3}$. Wówczas $c$ jest równe

Liczba $\dfrac{3^{27} + 3^{26}}{3^{26} + 3^{25}}$ jest równa

Dane są wielomiany: $W(x) = 2x^2 - 1$, $P(x) = x^3 + x$ i $Q(x) = (1 - x)(x + 1)$. Stopień wielomianu $W(x) \cdot P(x) \cdot Q(x)$ jest równy

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu $y = (x + 2)(x - 4)$ jest równa

W ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, wyraz $a_1 = 5$, natomiast iloraz $q = -2$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, dane są dwa wyrazy: $a_2 = 11$ i $a_4 = 7$. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Miara kąta $\alpha$ spełnia warunek: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Wyrażenie $\dfrac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} + \dfrac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ jest równe

W trapezie $KLMN$, w którym $KL \parallel MN$, kąt $LKN$ jest prosty (zobacz rysunek)
oraz dane są: $|MN| = 3$, $|KN| = 4\sqrt{3}$, $|\sphericalangle KLM| = 60^\circ$. Pole tego trapezu jest równe

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej 40 studentów, jest równa 30. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie 1800 punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy

W sześcianie $EFGHIJKL$ poprowadzono z wierzchołka $F$ dwie przekątne sąsiednich ścian, $FI$ oraz $FK$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $IFK$ jest równa

Punkt $O$ jest środkiem okręgu (zobacz rysunek).
Miara kąta $LKM$ jest równa

Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 12 i 9, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{1, 2, 3, 4, \dots, 30\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe

W trójkącie $EFG$ bok $EF$ ma długość 21. Prosta równoległa do boku $EF$ przecina boki $EG$ i $FG$ trójkąta odpowiednio w punktach $H$ oraz $I$ (zobacz rysunek)
w taki sposób, że $|HI| = 7$ i $|GI| = 3$. Wtedy długość odcinka $FI$ jest równa

Na planie miasta, narysowanym w skali $1 : 20000$, park jest prostokątem o bokach $2 \text{ cm}$ i $5 \text{ cm}$. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię

Proste o równaniach: $y = mx - 5$ oraz $y = (1 - 2m)x + 7$ są równoległe, gdy

Punkty $M = (2, 0)$ i $N = (0, -2)$ są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?

Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa $96\pi$. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Rozwiąż nierówność $(2x - 3)(3 - x) \ge 0$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność $\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 \le \dfrac{a^2 + b^2}{2}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \dfrac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}$.

Liczby $6, 2x + 4, x + 26$ w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę $r$ tego ciągu.

Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych: $K = \{-4, -1, 1, 5, 6\}$ i $L = \{-3, -2, 2, 3, 4\}$. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.

Dany jest trójkąt $ABC$. Odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta, punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ (tak jak na rysunku) i $|CD| = |DE|$. Udowodnij, że trójkąt $CDE$ jest równoboczny.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ (zobacz rysunek)
przekątna $AC$ podstawy ma długość $4\sqrt{2}$. Kąt $ASC$ między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę $60^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości 150 km pan Nowak pokonał w czasie o 1 godzinę i 50 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o 11 km/h większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.

Podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ jest bok $AB$, gdzie $A = (2, 1)$ i $B = (5, 2)$. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x - y - 3 = 0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.