Matura CKE Czerwiec 2016 – Matematyka Podstawowa

Liczba $\dfrac{7^6 \cdot 6^7}{42^6}$ jest równa

Cenę pewnego towaru podwyższono o $20\%$, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o $30\%$. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

Liczba $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ jest równa

Różnica $50001^2 - 49999^2$ jest równa

Najmniejsza wartość wyrażenia $(x - y)(x + y)$ dla $x, y \in \{2, 3, 4\}$ jest równa

Wartość wyrażenia $\log_3 \dfrac{3}{2} + \log_3 \dfrac{2}{9}$ jest równa

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania $(x - 8)(x^2 - 4)(x^2 + 16) = 0$, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

Rozwiązaniem równania $\dfrac{x - 7}{x} = 5$, gdzie $x$
eq 0, jest liczba należąca do przedziału

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \dfrac{2x^3}{x^4 + 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy liczba $f(-\sqrt{2})$ jest równa

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = -2(x + 5)(x - 11)$. Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 6(n - 16)$ dla $n \geq 1$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1 = 72$ i $a_4 = 9$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dany jest trapez $ABCD$, w którym przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$, $|AD| = |DC|$ oraz $|\sphericalangle ABC| = 50^\circ$ (zobacz rysunek).
Stąd wynika, że

Punkty $A, B, C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek).
Miary zaznaczonych kątów $\alpha$ i $\beta$ są odpowiednio równe

Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość $20$. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę $150^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe

Prosta określona wzorem $y = ax + 1$ jest symetralną odcinka $AB$, gdzie $A = (-3, 2)$ i $B = (1, 4)$. Wynika stąd, że

Układ równań $\begin{cases} y = -ax + 2a \ y = \dfrac{b}{3}x - 2 \end{cases}$ nie ma rozwiązań dla

Do pewnej liczby $a$ dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby $a$. Zatem

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta $ASC$ jest równa

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $x - 1$, $3x$, $5x + 1$ i $7x$ jest równa $72$. Wynika stąd, że

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe $k$ i $l$ o równaniach $y = ax + b$ oraz $y = mx + n$. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.
Zatem

Dane są dwie sumy algebraiczne $3x^3 - 2x$ oraz $-3x^2 - 2$. Iloczyn tych sum jest równy

Punkty $D$ i $E$ są środkami przyprostokątnych $AC$ i $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$. Punkty $F$ i $G$ leżą na przeciwprostokątnej $AB$ tak, że odcinki $DF$ i $EG$ są do niej prostopadłe (zobacz rysunek).
Pole trójkąta $BGE$ jest równe 1, a pole trójkąta $AFD$ jest równe 4.
Zatem pole trójkąta $ABC$ jest równe

Rozwiąż równanie $\dfrac{2x + 1}{2x} = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$, gdzie $x$
eq -1 i $x$
eq 0.

Dane są proste o równaniach $y = x + 2$ oraz $y = -3x + b$, które przecinają się w punkcie leżącym na osi $Oy$ układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi $Ox$.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność
$$x^4 + y^4 + x^2 + y^2 \geq 2(x^3 + y^3).$$


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina ramię $AD$ w punkcie $E$ oraz dwusieczną kąta $BCD$ w punkcie $F$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że w czworokącie $CDEF$ sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $|AB| = 15$ i $|AC| = 12$ oraz $\cos \alpha = \dfrac{4}{5}$, gdzie $\alpha = |\sphericalangle BAC|$. Na bokach $AB$ i $AC$ tego trójkąta obrano punkty odpowiednio $D$ i $E$ takie, że $|BD| = 2|AD|$ i $|AE| = 2|CE|$ (zobacz rysunek).
Oblicz pole
a) trójkąta $ADE$.
b) czworokąta $BCED$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, w którym $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2016$ oraz $a_5 + a_6 + a_7 + \dots + a_{12} = 2016$. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu $(a_n)$.

Dany jest stożek o objętości $8\pi$, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy $3 : 8$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o $10\%$ większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o $10\%$ mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o $12$ minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?