Matura CKE Czerwiec 2025 – Matematyka Podstawowa

Liczby $x_1$ i $x_2$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x - 6| = 4$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn $x_1 \cdot x_2$ jest równy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $256 \cdot \sqrt[3]{8^2}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12}$ jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $5$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Dana jest nierówność
$$8 - \dfrac{1 - 2x}{2} \ge 3x$$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie $4(x - 1)^2(x^2 - 25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie $1410$ drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło $20\%$ drzew w pierwszym sadzie i $15\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $70\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność
$$x(x + 4) < x - 2$$
Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} -x - 2 & \text{dla } x \in (-5, -2] \ 0 & \text{dla } x \in (-2, 1] \ x & \text{dla } x \in (1, 3] \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
(zobacz rysunek)
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ..................
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ..................
3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest przedział ..................
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < f(-3)$ jest przedział ..................

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1}{2}x - k$, gdzie $k$ jest liczbą rzeczywistą.
Miejsce zerowe funkcji $f$ jest liczbą większą od $2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $k$ należy do przedziału

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 5x$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej $g$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $g$ jest określona wzorem

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2, 15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu $x = -1$.
Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.
Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 - 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n^2 - 3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.	P	F
2.	Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są liczbami parzystymi.	P	F

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, dane są wyrazy: $a_1 = 52$ oraz $a_{25} = 2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, dane są wyrazy: $a_1 = 52$ oraz $a_{25} = 2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma $S_{25}$ dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg $(4, m, m - 1)$ jest geometryczny, gdy liczba $m$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba
$$\dfrac{\sin^3 25^\circ + \sin 25^\circ \cdot \cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}$$
jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych $\alpha$ oraz $\beta$ (zobacz rysunek).
Sinus kąta $\alpha$ jest równy $\dfrac{4}{7}$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Cosinus kąta $\alpha$ jest równy $\dfrac{3}{7}$.	P	F
2.	Cosinus kąta $\beta$ jest równy $\dfrac{4}{7}$.	P	F

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $10$, $24$, $26$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Na dziesięciokącie foremnym $ABCDEFGHIJ$ opisano okrąg o środku w punkcie $S$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta wpisanego $AGD$ jest równa

Kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek).
Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku kwadratu $K_1$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = 5x + 7$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$.
Punkt o współrzędnych $(p, 2)$ należy do prostej $l$.
Oblicz $p$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o równaniu
$$O\colon (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$$
Okrąg $K$ jest obrazem okręgu $O$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ układu współrzędnych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $K$ jest określony równaniem

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $94,5$.
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym $4$.
Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $20$.
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka ma długość $6$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60^\circ$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego stożka jest równa

Dane są dwa zbiory: $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ oraz $Y = \{-2, -1, 0, 1\}$.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru $Y$ i tworzymy uporządkowaną parę liczb $(x, y)$, gdzie $x$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $X$ oraz $y$ jest liczbą wylosowaną ze zbioru $Y$.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb $(x, y)$, która będzie spełniać warunek $x \cdot y \ge 0$. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b, c$, jest równa $12$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c$, jest równa

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	$4$	$2$	$5$	$5$	$11$	$5$

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie .................. uczniów tej klasy.
2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................. .
3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................. .

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem
$$Z(x) = (500 + 50x)(16 - x)$$
gdzie:
$x$ – kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki $x \ge 1$ i $x \le 14$,
$Z$ – roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Roczny zysk $Z$ ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla $x$ równego