Matura CKE Maj 2007 – Matematyka Podstawowa

Znajdź wzór funkcji kwadratowej $y=f(x)$, której wykresem jest parabola o wierzchołku $(1, -9)$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $(2, -8)$. Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.

Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność ta została przedstawiona w tabeli:

Wartość transakcji	Wysokość prowizji
do $500$ zł	$15$ zł
od $500,01$ zł do $3000$ zł	$2\%$ wartości transakcji + $5$ zł
od $3000,01$ zł do $8000$ zł	$1,5\%$ wartości transakcji + $20$ zł
od $8000,01$ zł do $15000$ zł	$1\%$ wartości transakcji + $60$ zł
powyżej $15000$ zł	$0,7\%$ wartości transakcji + $105$ zł

Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego $530$ akcji w cenie $25$ zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po $45$ zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia:
$\text{tg}^2 \beta - 5\sin \beta \cdot \text{ctg} \alpha + \sqrt{1-\cos^2 \alpha}$.

Samochód przebył w pewnym czasie $210$ km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o $10$ km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, gdzie $n \geq 1$. Wiadomo, że dla każdego $n \geq 1$ suma $n$ początkowych wyrazów $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ wyraża się wzorem: $S_n = -n^2 + 13n$.
a) Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$.
b) Oblicz $a_{2007}$.
c) Wyznacz liczbę $n$, dla której $a_n = 0$.

Dany jest wielomian $W(x) = 2x^3 + ax^2 - 14x + b$.
a) Dla $a = 0$ i $b = 0$ otrzymamy wielomian $W(x) = 2x^3 - 14x$. Rozwiąż równanie $2x^3 - 14x = 0$.
b) Dobierz wartości $a$ i $b$ tak, aby wielomian $W(x)$ był podzielny jednocześnie przez $x - 2$ oraz przez $x + 3$.

Dany jest punkt $C = (2, 3)$ i prosta o równaniu $y = 2x - 8$ będąca symetralną odcinka $BC$. Wyznacz współrzędne punktu $B$. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.

Na stole leżało $14$ banknotów: $2$ banknoty o nominale $100$ zł, $2$ banknoty o nominale $50$ zł i $10$ banknotów o nominale $20$ zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę $5$ banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie $130$ zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Oblicz pole czworokąta wypukłego $ABCD$, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: $|\sphericalangle A| = 90^\circ$, $|\sphericalangle B| = 75^\circ$, $|\sphericalangle C| = 60^\circ$, $|\sphericalangle D| = 135^\circ$, a boki $AB$ i $AD$ mają długość $3$ cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

Dany jest graniastosłup czworokątny prosty $ABCDEFGH$ o podstawach $ABCD$ i $EFGH$ oraz krawędziach bocznych $AE$, $BF$, $CG$, $DH$. Podstawa $ABCD$ graniastosłupa jest rombem o boku długości $8$ cm i kątach ostrych $A$ i $C$ o mierze $60^\circ$. Przekątna graniastosłupa $CE$ jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Dany jest rosnący ciąg geometryczny $(a_n)$ dla $n \geq 1$, w którym $a_1 = x$, $a_2 = 14$, $a_3 = y$. Oblicz $x$ oraz $y$, jeżeli wiadomo, że $x + y = 35$.