Matura CKE Maj 2009 – Matematyka Podstawowa

Zadanie 1. (5 pkt)
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{dla } x < 2 \ 1 & \text{dla } 2 \le x \le 4 \end{cases}$
a) Uzupełnij tabelę:

$x$	$-3$	$3$
$f(x)$			$0$

b) Narysuj wykres funkcji $f$.
c) Podaj wszystkie liczby całkowite $x$, spełniające nierówność $f(x) \ge -6$.

Zadanie 2. (3 pkt)
Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie $980$ detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona $m$, a drugi $n$ detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu $7$ dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o $8$ dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz $m$ i $n$.

Zadanie 3. (5 pkt)
Wykres funkcji $f$ danej wzorem $f(x) = -2x^2$ przesunięto wzdłuż osi $Ox$ o $3$ jednostki w prawo oraz wzdłuż osi $Oy$ o $8$ jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji $g$.
a) Rozwiąż nierówność $f(x) + 5 < 3x$.
b) Podaj zbiór wartości funkcji $g$.
c) Funkcja $g$ określona jest wzorem $g(x) = -2x^2 + bx + c$. Oblicz $b$ i $c$.

Zadanie 4. (3 pkt)
Wykaż, że liczba $3^{54}$ jest rozwiązaniem równania $243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 5. (5 pkt)
Wielomian $W$ dany jest wzorem $W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b$.
a) Wyznacz $a$, $b$ oraz $c$ tak, aby wielomian $W$ był równy wielomianowi $P$, gdy $P(x) = x^3 + (2a + 3)x^2 + (a + b + c)x - 1$.
b) Dla $a = 3$ i $b = 0$ zapisz wielomian $W$ w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Zadanie 6. (5 pkt)
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa $\alpha$.
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność $\sin \alpha - \tg \alpha < 0$.
b) Dla $\sin \alpha = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ oblicz wartość wyrażenia $\cos^3 \alpha + \cos \alpha \cdot \sin^2 \alpha$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Zadanie 7. (6 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ dla $n \ge 1$, w którym $a_7 = 1$, $a_{11} = 9$.
a) Oblicz pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$ ciągu $(a_n)$.
b) Sprawdź, czy ciąg $(a_7, a_8, a_{11})$ jest geometryczny.
c) Wyznacz takie $n$, aby suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ miała wartość najmniejszą.

Zadanie 8. (4 pkt)
W trapezie $ABCD$ długość podstawy $CD$ jest równa $18$, a długości ramion trapezu $AD$ i $BC$ są odpowiednio równe $25$ i $15$. Kąty $ADB$ i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary.
Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 9. (4 pkt)
Punkty $B = (0, 10)$ i $O = (0, 0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego $OAB$, w którym $|\angle OAB| = 90^\circ$. Przyprostokątna $OA$ zawiera się w prostej o równaniu $y = \dfrac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne punktu $A$ i długość przyprostokątnej $OA$.

Zadanie 10. (5 pkt)
Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

liczba błędów	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
liczba zdających	$8$	$5$	$8$	$5$	$2$	$1$	$0$	$0$	$1$

a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 11. (5 pkt)
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość $12$ i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze $30^\circ$.
a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od $18\sqrt{3}$. Odpowiedź uzasadnij.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................