Matura CKE Maj 2016 – Matematyka Podstawowa

Dla każdej dodatniej liczby $a$ iloraz $\dfrac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}$ jest równy

Liczba $\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})$ jest równa

Liczby $a$ i $c$ są dodatnie. Liczba $b$ stanowi $48\%$ liczby $a$ oraz $32\%$ liczby $c$. Wynika stąd, że

Równość $(2\sqrt{2} - a)^2 = 17 - 12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla

Jedną z liczb, które spełniają nierówność $-x^5 + x^3 - x < -2$, jest

Proste o równaniach $2x - 3y = 4$ i $5x - 6y = 7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że

Punkty $A, B, C, D$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek).
Miara kąta $BDC$ jest równa

Dana jest funkcja liniowa $f(x) = \dfrac{3}{4}x + 6$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Równanie wymierne $\dfrac{3x - 1}{x + 5} = 3$, gdzie $x$
eq -5,

Informacja do zadań 10. i 11.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Informacja do zadań 10. i 11.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.
Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle -1, 2\rangle$ jest równa

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x) = \dfrac{2x^3}{x^6 + 1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa

W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze $31^\circ$ (zobacz rysunek).
Promień tego okręgu ma długość $10$. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $8$, a różnica tego ciągu jest równa $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg $(x, 2x + 3, 4x + 3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2}{3}$. Wtedy

Z odcinków o długościach: $5$, $2a + 1$, $a - 1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

Proste opisane równaniami $y = \dfrac{2}{m - 1}x + m - 2$ oraz $y = mx + \dfrac{1}{m + 1}$ są prostopadłe, gdy

W układzie współrzędnych dane są punkty $A = (a, 6)$ oraz $B = (7, b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M = (3, 4)$. Wynika stąd, że

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$, a tworząca tego stożka ma długość $4$. Objętość tego stożka jest równa

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: $31, 16, 25, 29, 27, x$, jest równa $\dfrac{x}{2}$. Mediana tych liczb jest równa

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.

kolejne lata	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
przyrost (w cm)	$10$	$10$	$7$	$8$	$8$	$7$

Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do $1\text{ cm}$. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x$.

Rozwiąż równanie $(4 - x)(x^2 + 2x - 15) = 0$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\angle DEC| = |\angle BGF| = 90^\circ$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2n^2 + 2n$ dla $n \geq 1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem $R = \log\dfrac{A}{A_0}$, gdzie $A$ oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, $A_0 = 10^{-4}\text{ cm}$ jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. $5$ maja $2014$ roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile $6,2$ w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od $100\text{ cm}$.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^\circ$. Oblicz kąty tego trójkąta.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$. Wysokość $SO$ tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa $27$. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa $ABCS$ oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa $30$. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.