Matura CKE Maj 2026 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\sqrt{\dfrac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1}$ jest równa

Klient wpłacił do banku $10\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\sqrt{5\sqrt{5}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_{8} 4 - \log_{8} 32$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia $x^2 + 10x + 25$ dla $x = \sqrt{2} - 5$ jest równa

Dane jest równanie
$$3(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0$$
gdzie $x$ jest niewiadomą, natomiast $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $m$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązaniem równania
$$\dfrac{x + 2}{3x - 1} = \dfrac{2}{5}$$
jest liczba

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	$35$
Ulgowy	$25$

Na to przedstawienie sprzedano łącznie $200$ biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości $25\%$ wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało $4665$ zł.
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania $f(x) = 3$ jest liczba .................. .
2. Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $[2, 3]$ jest równa .................. .

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział .................. .
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$, jest przedział .................. .

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
2.	Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = ax + b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji $f$ z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji $f$ jest nachylony do osi $Ox$ układu współrzędnych pod kątem o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta o mierze $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, -2)$.
Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x + 1)$.
Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$.
Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny.
Oblicz $k$. Zapisz obliczenia.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
W tym ciągu $a_1 = 1$ oraz $a_5 = 17$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dziewiąty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek $a_3 \cdot a_6 = 18$.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy .................. .

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $AC$ jest przeciwprostokątną oraz $|BC| = 2$ i $|AC| = 2\sqrt{10}$. Oznaczmy kąt $BCA$ przez $\gamma$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Sinus kąta $\gamma$ jest równy

Punkty $A, B, C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$.
Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$.
Kąt $CDA$ ma miarę $50^\circ$, a kąt $COB$ ma miarę $30^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k, l, m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe.
Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$.
Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$.
Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$.
Ponadto $|OA| = 12$, $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $OD$ ma długość

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$.
Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).
Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\dfrac{a}{b}$.


Dowód:
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................

W okrąg $\mathcal{O}$ o promieniu $9\sqrt{3}$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość .................. .

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\dfrac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -3), B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta $ABC$ jest równe

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, -3), B = (2, 1)$ oraz $C = (0, 2)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ ma współrzędne

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (1, -3)$ i o promieniu $5$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Punkt $A = (4, -7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$.	P	F
2.	Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$.	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dana jest prosta $k$ o równaniu $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $(2, -2)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (np.: $321, 555$), jest

Dane są dwa zbiory cyfr: $X = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ oraz $Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$. Zapisz obliczenia.

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
2.	Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a, b, c$, jest równa $2$.
Średnia arytmetyczna czterech liczb: $d, e, f, g$, jest równa $5{,}5$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: $a, b, c, d, e, f, g$, jest równa

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem
$$h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$$
gdzie:

• czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$, na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$, jest określona wzorem
$$h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t$$
gdzie:

• czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili