Matura CKE Sierpień 2025 – Matematyka Podstawowa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\log_3 2 - \log_3 18$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wartość wyrażenia $(3x + y)^2 - (3x - y)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
$$3 - x \geq \dfrac{5x - 1}{2}$$
jest przedział

Dane jest równanie
$$\dfrac{3}{3x - 7} = \dfrac{5x}{x - 8}$$ gdzie $x$
eq \dfrac{7}{3} i $x$
eq 8.
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(\dfrac{5}{4}, +\infty\right)$.
Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich rozwiązań równania $(3x - 12)(10 + 5x)(x - 3) = 0$ jest równa

Właściciel restauracji kupił $75$ kilogramów pomidorów: $x$ kg pomidorów malinowych w cenie $11$ złotych za kilogram oraz $y$ kg pomidorów cherry w cenie $7{,}98$ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $752{,}52$ złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} -2x - 10 & \text{dla } x \in (-5, -3] \ x - 1 & \text{dla } x \in (-3, 4] \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba .................. .
2. Wartość wyrażenia $f(-2) + 3 \cdot f(2)$ jest równa .................. .

Funkcja $f$ jest określona następująco:
$$f(x) = \begin{cases} -2x - 10 & \text{dla } x \in (-5, -3] \ x - 1 & \text{dla } x \in (-3, 4] \end{cases}$$
Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział .................. .
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) < -2$ jest przedział .................. .

Miejscem zerowym funkcji liniowej $g$ jest liczba $(-3)$.
Dla argumentu $0$ funkcja $g$ przyjmuje wartość $\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $g$ jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja $f$ jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
2.	Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $b$ oraz $c$ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $6$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $x = 1$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.
Funkcja $g$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g(x) = f(x - 3)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = \dfrac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Różnica tego ciągu jest równa $(-4)$ oraz $a_{10} = -24$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg geometryczny $(a_n)$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $0$, jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $a_3 = -8 \cdot a_6$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, x)$ jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg $(\sqrt{5}, 1, y)$ jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby $x$ oraz $y$ spełniają warunki

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos \alpha = \dfrac{5}{13}$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$.
Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40^\circ$, a kąt $DBC$ ma miarę $65^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego $BSA$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$ i o promieniu $36$.
Punkt $S$ leży na odcinku $BD$. Kąt $BDA$ ma miarę $40^\circ$, a kąt $DBC$ ma miarę $65^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość łuku $BC$, na którym jest oparty kąt wpisany $CDB$, jest równa

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|AC| = 4$ oraz $|\measuredangle CAB| = 60^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta $ABC$ jest równe

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 6$, $|AC| = 4$ oraz $|\measuredangle CAB| = 60^\circ$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku $BC$ trójkąta $ABC$ jest równa

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Pola trójkątów $BCE$ oraz $AED$ są równe.	P	F
2.	Pole trójkąta $ABE$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $CDE$.	P	F

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami
$$k\colon y = (3 - m)x + 5$$
$$l\colon y = (m + 3)x - 4$$
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy liczba $m$ jest równa .................. .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu
$$\mathcal{O}\colon (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$$
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1.	Okrąg $\mathcal{O}$ nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ układu współrzędnych.	P	F
2.	Okrąg $\mathcal{O}$ ma z osią $Oy$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.	P	F

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$. Wysokość podstawy $ABC$ jest równa $2\sqrt{3}$. Przekątna $AE$ ściany bocznej $ABED$ tworzy z krawędzią $AB$ kąt o mierze $60^\circ$ (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Objętość walca o promieniu podstawy $2$ jest równa $16\pi^2$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego walca jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $500$, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $3$. Zapisz obliczenia.

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa .................. .
2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa .................. .
3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi .................. procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
• przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
• każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$.
Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja
$$P(x) = (80 - x)(120 + 5x)$$
gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x \geq 0$ i $x \leq 80$.
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.